Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 23 фев 2023, 11:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опять что-то с последней формулой не то:
Изображение

В радианах угол x=1.274176. Это почти 73 град. Но никак не 113,67 град.
Формулу вроде верно записал. Ссылка
[url]https://www.wolframalpha.com/input?i=cos%28x%2BB%29*%28a%2Fb*cos%28A%29-sin%28x%29%29%2Bsin%28x%2BB%29*%28a%2Fb*cos%28A%29-sqrt%28%28d%2Fb%29%5E2-sin%5E2%28x%29%29%29%3D0+where+a+%3D+5+and+b+%3D+4.0+and+d+%3D+7+and+A+%3D+70°%2C+B+%3D+80°[/url]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 23 фев 2023, 11:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 09:25
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Вы неправильно набрали. Вместо синуса написали косинус.
Так дает правильный результат:
[url]https://www.wolframalpha.com/input?i=cos%28x%2BB%29*%28a%2Fb*sin%28A%29-sin%28x%29%29%2Bsin%28x%2BB%29*%28a%2Fb*cos%28A%29-sqrt%28%28d%2Fb%29%5E2-sin%5E2%28x%29%29%29%3D0+where+a+%3D+5+and+b+%3D+4.0+and+d+%3D+7+and+A+%3D+70°%2C+B+%3D+80°[/url]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 23 фев 2023, 13:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SRash
О, да! Надо же! Сто раз проверял и все равно липанул! Теперь все отлично! Графически получается точь-в-точь! Хорошо бы только в явном виде выразить Х. Ну, тут уж я попытаюсь что-либо придумать. Возможно итерацию применю...
Спасибо всем! За мной пирожки. Вечером приеду и раздам...
Вот так данный пример должен выглядеть (это я скорее для себя, чтобы не забыть)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 23 фев 2023, 16:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не знаю, когда я сам сподоблюсь повозиться с выводом формулы, но вот чего бросается в глаза - это симметрия задачи по перестановке исходных параметров. Угол, противоположный углу Х, с точки зрения формулировки условия и исходных параметров, находится в абсолютно такой же ситуации, как и сам Х. Разница только в том, что надо поменять a и b, а также α и ß местами. Таким образом, искомая формула должна иметь такое свойство:

X(a, b, α, ß) = 360° - α - ß - X(b, a, ß, α)

В частности, в случае прямоугольника, когда a = b и α = ß = 90°, из одного только этого свойства сходу имеем:

X(a, b, α, ß) = 360° - α - ß - X(a, b, α, ß)

2∙X(a, b, α, ß) = 360° - 2α = 180°

X(a, b, α, ß) = 180°/2 = 90°


А в случае ромба имеем:

2∙X(a, b, α, ß) = 360° - 2α

X(a, b, α, ß) = 180° - α

Вот так теория групп симметрии помогла решить эти простые частные случаи данной задачи. А если использовать соотношения между a и b, и между α и ß, то эта теория, по идее, тоже может помочь и в более общем случае. Только я так сходу не владею этим разделом математики.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 27 фев 2023, 07:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Данное уравнение я решил итераций - методом деления отрезка пополам. Все тестовые примеры прошли успешно. Написал статью в proza.ru. ссылка:
https://proza.ru/2023/02/26/1874

Во всех примерах оказались единственные положительные углы X в диапазоне от 0 до 180 град. Проверил все графически.
Ещё раз- спасибо всем за помощь.
Только меня не покидает мысль: мол, есть какое-то не очень сложное аналитическое решение. Мапл, однако выдал нечто слишком дикое. Может, тут геометрия поможет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 27 фев 2023, 11:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Тут надо обязательно понять, во-первых, для каких исходных данных формула работает, и, во-вторых, каким образом искать другие решения, которые даёт формула revos'а - для одного набора входных параметров. Они есть, и вполне вероятно, как геометрически показал [math]ferma-T[/math], решениями будут выпуклые четырёхугольники.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 27 фев 2023, 13:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Вы правы! Попробую написать прогу построения графиков функции меняя исходные данные и выясню: бывают ли случаи, когда решение не единственное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 28 фев 2023, 20:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Составил прогу, которая выполняет чертеж тригонометрического выражения, находит корень методом деления отрезка пополам и остальные параметры (угол y, стороны c и f). Решение будет однозначным, если только диагональ d будет больше заданных сторон a и b. Для иных случаев нужно выводить другие тригонометрические уравнения. Вот серия расчетов, проверенные геометрическими построениями. В программе есть блок, учитывающий указанные ограничесния по диагонали d. Выводится сообщение: "OOOOO!!! d must be greater than a or b".

Изображение

Текст проги:

open window 400,400
a=12:b=10:d=14
if d<a or d<b then
print "OOOOO!!! d must be greater than a or b"
end
fi
A0=70:B0=80
A=A0/180*pi:B=B0/180*pi
print "a = ";:print a;:print " b = ";:print b
print "d = ";:print d
print "A = ";:print A0;:print " B = ";:print B0
ky=50:kx=100:k=40:dy=0.001:dx=0.0001
line 0, 200+ky, 350,200+ky
for x0=0 to 180 step 20
x=x0/180*pi
line x*kx+k,250+k-50,x*kx+k,250+0
next x0
text k-5,250+k-20,"0"
text 1*kx/3+k-5,250+k-20,"20"
text 2*kx/3+k-4,250+k-20,"40"
text 3*kx/3+k-3,250+k-20,"60"
text 4*kx/3+k-2,250+k-20,"80"
text 5*kx/3+k,250+k-20,"100"
text 6*kx/3+k,250+k-20,"120"
text 7*kx/3+k,250+k-20,"140"
text 8*kx/3+k,250+k-20,"160"
text 9*kx/3+k,250+k-20,"180"
for x=0 to 3.14 step 0.01
v1=cos(x+B)*(a/b*sin(A)-sin(x))
v2=sin(x+B)
v3=a/b*cos(A)-sqrt((d/b)^2-sin(x)^2)
z1=v1+v2*v3
v1=cos(x+dx+B)*(a/b*sin(A)-sin(x+dx))
v2=sin(x+dx+B)
v3=a/b*cos(A)-sqrt((d/b)^2-sin(x+dx)^2)
z2=v1+v2*v3
line x*kx+k,(z1*100+250),(x+dx)*kx+k,(z2*100+250)
next x
x1=0:x2=pi
for j=1 to 50
if k<>1 then
p()
if z1*z3<=0 and z3*z3>0 then x2=x3:x1=x1:fi
if z1*z3>0 and z3*z2<=0 then x1=x3:x2=x2:fi
p()
if abs(abs(x1)-abs(x2))<0.00000001 then
print "x = ";:print x3*180/pi
y=2*pi-A-B-x3
y1=y*180/pi
c=b*cos(x3)+sqrt(d^2-b^2*sin(x3)^2)
f=a*cos(y)+sqrt(d^2-a^2*sin(y)^2)
print "y = ";:print y1
print "c = ";:print c
print "f = ";:print f
k=1:fi
fi
next j
sub p()
v1=cos(x1+B)*(a/b*sin(A)-sin(x1))
v2=sin(x1+B)
v3=a/b*cos(A)-sqrt((d/b)^2-sin(x1)^2)
z1=v1+v2*v3
v1=cos(x2+B)*(a/b*sin(A)-sin(x2))
v2=sin(x2+B)
v3=a/b*cos(A)-sqrt((d/b)^2-sin(x2)^2)
z2=v1+v2*v3
x3=(x1+x2)/2
v1=cos(x3+B)*(a/b*sin(A)-sin(x3))
v2=sin(x3+B)
v3=a/b*cos(A)-sqrt((d/b)^2-sin(x3)^2)
z3=v1+v2*v3
end sub

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 01 мар 2023, 10:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследуя основную тригонометрическую формулу, которую коллеги помогли получить, я нашел ряд дополнительных ограничений, исходя только из положительности выражения под квадратным корнем. Вот пять ограничений:

[math]b>0\,;\,\,d=b\,;\,\, 0<x<\frac{\pi}{2}[/math]

[math]b>0\,;\,\,d=b\,;\,\,\frac{\pi}{2}<x<\pi[/math]

[math]b>0\,;\,\,d>b\,;\,\,0<x<\pi[/math]

[math]b>0\,;\,\,0 < d < b\,;\,\,0 < x< arcsin \left (\frac db \right )[/math]

[math]b>0\,;\,\,0<d<b\,;\,\,\pi-arcsin\left (\frac db \right )<x<\pi[/math]

Но выпуклый четырехугольник - вещь более сложная, чем я рассмотрел. Не учтены например, ограничения для стороны [math]a[/math] и углов [math]A[/math] и [math]B[/math].

Если кто в теме, то могли бы помочь выявить все ограничения задачи, при которых может существовать лишь одно положительное решение для угла [math]x[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х
СообщениеДобавлено: 01 мар 2023, 17:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1063
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
To [math]\mathsf{A} \mathsf{v} \mathsf{g} \mathsf{u} \mathsf{s} \mathsf{t}[/math]
1. О получении аналитического выражения для угла x.
При условии d=b, уравнение упростится до [math]\frac{ \mathsf{a} }{ \mathsf{b} } \cdot \sin{\left( \mathsf{x} + \alpha + \beta \right) - \sin{\left( 2 \cdot \mathsf{x} + \beta \right) } = 0}[/math], но, похоже, и этого недостаточно для получения аналитического выражения для х.
Если дополнительно предположить a=b (то есть, a=b=d) , то уравнение можно решить аналитически, но это вряд ли интересно.
2. Честно говоря, не понимаю, зачем вы пишите программы для данной задачи.
Для нахождения корня (угла [math]\mathsf{x}[/math]) расчётного уравнения ( да и для численного анализа зависимости корня от параметров задачи) хорошо работает MathCad.
СНОВА прикладываю "документ" MathCad.
Изображение

Запускаете MathCad, и на чистой странице печатаете текст с этого листа .Ответы в радианах. Изменили значение хотя бы одного параметра
( [math]\mathsf{a}, \mathsf{b} , \mathsf{d} , \alpha , \beta)[/math] , и функция [math]\mathsf{r} \mathsf{o} \mathsf{o} \mathsf{t} \left( ... \right)[/math] дает вам корень уравнения в интервале [math]\left[ 0, \pi \right][/math].
3. Напоминаю о замечании в предыдущем посте , что для косинус вспомогательного угла [math]\varphi[/math] был выражен через синус со знаком "+" перед радикалом, что предполагает, что [math]\varphi \leqslant \frac{ \pi }{ 2}[/math]. Если это не так ( формально это возможно, если [math]\alpha > \frac{ \pi }{ 2 }),[/math] то перед радикалом в расчётной формуле следует изменить знак с "-" на "+" .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 31 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

spins06

2

806

04 июл 2015, 06:28

Выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

perash

1

250

01 июн 2023, 23:34

Выпуклый четырёхугольник

в форуме Геометрия

sfanter

1

436

20 июл 2014, 07:11

Выпуклый четырёхугольник

в форуме Геометрия

sfanter

3

413

23 июл 2014, 10:33

Выпуклый четырехугольник ABCD

в форуме Геометрия

STEPIN

2

460

15 окт 2018, 12:38

Задача на выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

tata00tata

9

244

03 апр 2021, 18:56

Вероятность получить выпуклый четырехугольник

в форуме Теория вероятностей

cockamamie

15

3219

24 янв 2022, 08:34

Четырехугольник, треугольник, два угла

в форуме Геометрия

Li6-D

1

194

17 фев 2020, 20:47

Частное решение дифференциального уравнения\общее решение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Swissboy

5

762

06 май 2014, 19:13

Решение Трисекции угла

в форуме Палата №6

magnit31

131

4868

27 май 2017, 00:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved