Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 00:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это вопрос, адресованный виртуозам циркуля и линейки, искренний и постоянный мой им респект.
Не раз здесь на форуме возникала тема, что если есть формула, или уравнение, решаемое в радикалаз, или что-то подобное, то всегда можно по этой формуле дать построение ЦиЛ, возможно не оптимальное, но практически осуществимое.
Теперь вопрос: а можно ли по известному построению ЦиЛ написать формулу построенного объекта?

Вот из чего он возник. Avgust предложил найти формулу высоты треугольника, если известен угол, из которого высота опускается на противоположную сторону, и длины проекций на эту сторону двух других сторон треугольника. Вот в этой теме.
Можно с разных сторон заходить, у меня формула получилась не особенно длинная. Но построение ЦиЛ, если заданы угол [math]\beta[/math] и отрезки [math]m[/math] и [math]n[/math] совершенно прозрачное, чтобы не сказать примитивное. Вопрос: а по этому построению можно ли "восстановить" формулу построенной высоты треугольника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
постоянный мой им респект

Правильно надо писать: "Респект и уважуха".

Я думаю, можно так попробовать.
На рисунке показано, как можно построить высоту:
1) ставим орты из точки С и D;
2) строим черный угол бетта из любой точки на лиловом орте, пущенном из точки С;
3) к черному пунктиру ведём параллель из точки А. Так получили точку Е;
4) строим круг по точкам А, С и Е. Точка В - искомая.

Далее, как получить формулу из этого построения? Что, если, например, так:

лиловый круг есть описанный вокруг искомого треугольника АВС, и его диаметр 2R = (n+m)/sinß
Далее, есть формула для площади треугольника через радиус описанной окружности, а площадь также равна (m+n)∙h/2

(m+n)∙h/2 = N∙M∙(n+m)/4R

Подставляем для 2R = (n+m)/sinß, получаем

[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]

Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Изображение


Последний раз редактировалось ferma-T 28 май 2022, 09:33, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:50 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
Рисунок построен в Геогебра?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
Рисунок построен в Геогебра?

Вы хотите сказать, что я попался? Я только что прилетел с 5-ти часового авиарейса. Мне немного не до пентагона. А завтра - на работу. Попозже маленько. Тем более, что это тоже для того же самого сумасшедшего учёного-поэта-художника-спицеметателя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:56 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
Рисунок построен в Геогебра?

Вы хотите сказать, что я попался? Я только что прилетел с 5-ти часового авиарейса. Мне немного не до пентагона. А завтра - на работу. Попозже маленько.

Нет, я не то хотела сказать (ловить - это не моё занятие).
Я хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 09:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Ею все могут пользоваться, и вы, и даже Августин, который рисует в Paint. Она бесплатная и имеется как версия инсталлируемая локально на комп, так и онлайн версия, т.е. инсталлировать не обязательно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 09:06 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Ею все могут пользоваться, и вы, и даже Августин, который рисует в Paint. Она бесплатная и имеется как версия инсталлируемая локально на комп, так и онлайн версия, т.е. инсталлировать не обязательно.

Все могут, но не все умеют.
Каждую программу надо освоить.
Не просто так - установил и поехал.
Все могут считать кортежи, но не все умеют, а для некоторых кортеж - это свита ... :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 11:42 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6755
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 992
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
получаем

[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]

Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Синус - есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Гипотенузой здесь может быть как [math]M[/math], так и [math]N[/math]. Значит, можно сократить на [math]M[/math] и [math]N[/math]. Тогда задача сведётся к истинной формуле с параметрами [math]n, m[/math] и двух тех самых неизвестных отрезков-катетов имхо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 29 май 2022, 21:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Booker48 писал(а):
постоянный мой им респект

Правильно надо писать: "Респект и уважуха".

Ну, для выражения искреннего восторга все обороты речи хороши.
ferma-T писал(а):
...лиловый круг есть описанный вокруг искомого треугольника АВС, и его диаметр 2R = (n+m)/sinß
Далее, есть формула для площади треугольника через радиус описанной окружности, а площадь также равна (m+n)∙h/2
(m+n)∙h/2 = N∙M∙(n+m)/4R
Подставляем для 2R = (n+m)/sinß, получаем
[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]
Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Я, честно говоря, предполагал "пошаговый" параллельный процесс, подобный обратному - построению отрезка по его известной зависимости от других отрезков и углов (если таковое построение возможно). В надежде получить более краткое алгебраическое выражение для высоты. У меня было несколько менее академичное построение, из точки [math]A[/math], находящейся на одном из лучей данного угла и не слишком далеко от его вершины [math]B[/math], раствором циркуля [math]m+n[/math] на другом луче находим точку [math]C[/math]. Описываем окружность вокруг тр-ка [math]ABC[/math], и из точки, делящей [math]AC[/math] на отрезки длиной [math]m[/math] и [math]n[/math] восстанавливаем перпендикуляр.
Сорри, не могу на планшете научиться рисовать красивые чертежи. То ли пальцы кривые, то ли не нашёл программу для этого предназначенную. Длинный текст бестолковее простого чертежа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 30 май 2022, 06:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
927 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ув. Booker48! Персональное спасибо и палец за этот ваш топик, ибо вы подымаете интересную тему, о которой я раньше, как об отдельной теме, не задумывался. Правда вы ограничились построением, а сами эту вашу же тему не стали продолжать. И я и сам в своём посте выше (который с рисунком) не закончил выводить уравнение, ибо было некогда, а потом и совсем забыл. А сейчас закончу.

Booker48 писал(а):
У меня было несколько менее академичное построение

Ваше построение короче и проще, чем моё, ибо не использует лишний орт из точки С. Но, после такого простого построения не очень понятно, как же получить желаемое уравнение, которое вы просили. А я намеренно использовал орт из С, чтобы сразу убить двух зайцев и сразу получить диаметр окружности и сразу увидеть, что он равен 2R = (n+m)/sinß и потом применить на него формулу площади треугольника через радиус описанной окружности.

▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

Продолжаю тот свой пост, что выше.

У меня там вывелась формула

[math]h = \frac{N \cdot M\cdot sin \beta}{(n+m)}[/math]

Но в ней стоит неудобная штука NM. Если её расписывать через Пифагора, то получается "туши свет". Но можно сделать ход конём, ибо такая же штука стоит и в теореме косинусов

[math](n+m)^{2} = N^{2} + M^{2} - 2 \cdot NM \cdot cos \beta[/math]

Выражая отсюда это NM (предварительно подставив N^2 = h^2 + n^2 и M^2 = h^2 + m^2) и подставляя в формулу выше, получаем простое квадратное уравнение

[math]h^{2} - h(n+m) \cdot ctg \beta - nm = 0[/math]

Корни его как раз и есть то, что вы написали Августу в теме viewtopic.php?f=10&t=77470 , а именно:

[math]2h = (n+m) ctg \beta \pm \sqrt{ ((n+m) ctg \beta)^{2} + 4nm }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Booker48
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Связь между величинами

в форуме Геометрия

MihailM

1

243

06 июн 2021, 09:39

Связь между нормами в Lp и C

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TaDa

0

682

16 июн 2014, 05:49

Связь между аффинной и линейной независимостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ConorM

0

304

24 дек 2017, 18:38

Связь между аддитивными и мультипликативными свойства чисел

в форуме Теория чисел

eric-k

4

735

20 апр 2014, 12:42

Какая связь между дифференциалом и приращением функции?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

373

23 янв 2016, 11:45

Квадратные уравнения между которыми есть связь

в форуме Алгебра

wwww

6

391

13 окт 2016, 11:07

Есть ли связь между двумя решениями конечных разностей

в форуме Численные методы

rh520

0

292

18 сен 2021, 19:33

Связь между матрицами линейного оператора в различных базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

__kat__s

1

156

24 апр 2020, 19:55

Связь между z преобразованием и преобразованием Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

foxis

2

508

31 янв 2016, 00:01

Проблема с построениями графиков в Mathcad

в форуме MathCad

DisSergey

1

91

08 окт 2023, 04:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved