Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 00:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 3554
Cпасибо сказано: 225
Спасибо получено:
626 раз в 586 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это вопрос, адресованный виртуозам циркуля и линейки, искренний и постоянный мой им респект.
Не раз здесь на форуме возникала тема, что если есть формула, или уравнение, решаемое в радикалаз, или что-то подобное, то всегда можно по этой формуле дать построение ЦиЛ, возможно не оптимальное, но практически осуществимое.
Теперь вопрос: а можно ли по известному построению ЦиЛ написать формулу построенного объекта?

Вот из чего он возник. Avgust предложил найти формулу высоты треугольника, если известен угол, из которого высота опускается на противоположную сторону, и длины проекций на эту сторону двух других сторон треугольника. Вот в этой теме.
Можно с разных сторон заходить, у меня формула получилась не особенно длинная. Но построение ЦиЛ, если заданы угол [math]\beta[/math] и отрезки [math]m[/math] и [math]n[/math] совершенно прозрачное, чтобы не сказать примитивное. Вопрос: а по этому построению можно ли "восстановить" формулу построенной высоты треугольника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 885
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
232 раз в 216 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
постоянный мой им респект

Правильно надо писать: "Респект и уважуха".

Я думаю, можно так попробовать.
На рисунке показано, как можно построить высоту:
1) ставим орты из точки С и D;
2) строим черный угол бетта из любой точки на лиловом орте, пущенном из точки С;
3) к черному пунктиру ведём параллель из точки А. Так получили точку Е;
4) строим круг по точкам А, С и Е. Точка В - искомая.

Далее, как получить формулу из этого построения? Что, если, например, так:

лиловый круг есть описанный вокруг искомого треугольника АВС, и его диаметр 2R = (n+m)/sinß
Далее, есть формула для площади треугольника через радиус описанной окружности, а площадь также равна (m+n)∙h/2

(m+n)∙h/2 = N∙M∙(n+m)/4R

Подставляем для 2R = (n+m)/sinß, получаем

[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]

Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Изображение


Последний раз редактировалось ferma-T 28 май 2022, 09:33, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:50 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 6400
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 712
Спасибо получено:
507 раз в 437 сообщениях
Очков репутации: -272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
Рисунок построен в Геогебра?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:52 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 885
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
232 раз в 216 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
Рисунок построен в Геогебра?

Вы хотите сказать, что я попался? Я только что прилетел с 5-ти часового авиарейса. Мне немного не до пентагона. А завтра - на работу. Попозже маленько. Тем более, что это тоже для того же самого сумасшедшего учёного-поэта-художника-спицеметателя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 08:56 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 6400
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 712
Спасибо получено:
507 раз в 437 сообщениях
Очков репутации: -272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
Рисунок построен в Геогебра?

Вы хотите сказать, что я попался? Я только что прилетел с 5-ти часового авиарейса. Мне немного не до пентагона. А завтра - на работу. Попозже маленько.

Нет, я не то хотела сказать (ловить - это не моё занятие).
Я хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 09:01 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 885
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
232 раз в 216 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Ею все могут пользоваться, и вы, и даже Августин, который рисует в Paint. Она бесплатная и имеется как версия инсталлируемая локально на комп, так и онлайн версия, т.е. инсталлировать не обязательно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 09:06 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 6400
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 712
Спасибо получено:
507 раз в 437 сообщениях
Очков репутации: -272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
хотела убедиться, что вы уже можете пользоваться Геогеброй.

Ею все могут пользоваться, и вы, и даже Августин, который рисует в Paint. Она бесплатная и имеется как версия инсталлируемая локально на комп, так и онлайн версия, т.е. инсталлировать не обязательно.

Все могут, но не все умеют.
Каждую программу надо освоить.
Не просто так - установил и поехал.
Все могут считать кортежи, но не все умеют, а для некоторых кортеж - это свита ... :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 28 май 2022, 11:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 5391
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 735
Спасибо получено:
417 раз в 391 сообщениях
Очков репутации: 48

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
получаем

[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]

Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Синус - есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Гипотенузой здесь может быть как [math]M[/math], так и [math]N[/math]. Значит, можно сократить на [math]M[/math] и [math]N[/math]. Тогда задача сведётся к истинной формуле с параметрами [math]n, m[/math] и двух тех самых неизвестных отрезков-катетов имхо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 29 май 2022, 21:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 3554
Cпасибо сказано: 225
Спасибо получено:
626 раз в 586 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Booker48 писал(а):
постоянный мой им респект

Правильно надо писать: "Респект и уважуха".

Ну, для выражения искреннего восторга все обороты речи хороши.
ferma-T писал(а):
...лиловый круг есть описанный вокруг искомого треугольника АВС, и его диаметр 2R = (n+m)/sinß
Далее, есть формула для площади треугольника через радиус описанной окружности, а площадь также равна (m+n)∙h/2
(m+n)∙h/2 = N∙M∙(n+m)/4R
Подставляем для 2R = (n+m)/sinß, получаем
[math]h = \frac{ N \cdot M\cdot sin \beta }{ (n+m) }[/math]
Стороны N и M связаны с h, n и m через Пифагора.

Я, честно говоря, предполагал "пошаговый" параллельный процесс, подобный обратному - построению отрезка по его известной зависимости от других отрезков и углов (если таковое построение возможно). В надежде получить более краткое алгебраическое выражение для высоты. У меня было несколько менее академичное построение, из точки [math]A[/math], находящейся на одном из лучей данного угла и не слишком далеко от его вершины [math]B[/math], раствором циркуля [math]m+n[/math] на другом луче находим точку [math]C[/math]. Описываем окружность вокруг тр-ка [math]ABC[/math], и из точки, делящей [math]AC[/math] на отрезки длиной [math]m[/math] и [math]n[/math] восстанавливаем перпендикуляр.
Сорри, не могу на планшете научиться рисовать красивые чертежи. То ли пальцы кривые, то ли не нашёл программу для этого предназначенную. Длинный текст бестолковее простого чертежа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Связь между построениями ЦиЛ и формулами
СообщениеДобавлено: 30 май 2022, 06:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 885
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
232 раз в 216 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ув. Booker48! Персональное спасибо и палец за этот ваш топик, ибо вы подымаете интересную тему, о которой я раньше, как об отдельной теме, не задумывался. Правда вы ограничились построением, а сами эту вашу же тему не стали продолжать. И я и сам в своём посте выше (который с рисунком) не закончил выводить уравнение, ибо было некогда, а потом и совсем забыл. А сейчас закончу.

Booker48 писал(а):
У меня было несколько менее академичное построение

Ваше построение короче и проще, чем моё, ибо не использует лишний орт из точки С. Но, после такого простого построения не очень понятно, как же получить желаемое уравнение, которое вы просили. А я намеренно использовал орт из С, чтобы сразу убить двух зайцев и сразу получить диаметр окружности и сразу увидеть, что он равен 2R = (n+m)/sinß и потом применить на него формулу площади треугольника через радиус описанной окружности.

▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

Продолжаю тот свой пост, что выше.

У меня там вывелась формула

[math]h = \frac{N \cdot M\cdot sin \beta}{(n+m)}[/math]

Но в ней стоит неудобная штука NM. Если её расписывать через Пифагора, то получается "туши свет". Но можно сделать ход конём, ибо такая же штука стоит и в теореме косинусов

[math](n+m)^{2} = N^{2} + M^{2} - 2 \cdot NM \cdot cos \beta[/math]

Выражая отсюда это NM (предварительно подставив N^2 = h^2 + n^2 и M^2 = h^2 + m^2) и подставляя в формулу выше, получаем простое квадратное уравнение

[math]h^{2} - h(n+m) \cdot ctg \beta - nm = 0[/math]

Корни его как раз и есть то, что вы написали Августу в теме viewtopic.php?f=10&t=77470 , а именно:

[math]2h = (n+m) ctg \beta \pm \sqrt{ ((n+m) ctg \beta)^{2} + 4nm }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Booker48
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Связь между величинами

в форуме Геометрия

MihailM

1

193

06 июн 2021, 09:39

Связь между нормами в Lp и C

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TaDa

0

636

16 июн 2014, 05:49

Какова связь между распределениями?

в форуме Теория вероятностей

Free Dreamer

0

297

06 дек 2012, 15:10

Связь между аффинной и линейной независимостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ConorM

0

252

24 дек 2017, 18:38

Связь между аддитивными и мультипликативными свойства чисел

в форуме Теория чисел

eric-k

4

689

20 апр 2014, 12:42

Квадратные уравнения между которыми есть связь

в форуме Алгебра

wwww

6

350

13 окт 2016, 11:07

Какая связь между дифференциалом и приращением функции?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

286

23 янв 2016, 11:45

Связь между матрицами линейного оператора в различных базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

__kat__s

1

116

24 апр 2020, 19:55

Есть ли связь между двумя решениями конечных разностей

в форуме Численные методы

rh520

0

150

18 сен 2021, 19:33

Связь между z преобразованием и преобразованием Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

foxis

2

486

31 янв 2016, 00:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved