Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Glotov1 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Задачу эту тут никто пока не решил (и я сам не до конца тоже), но, чтобы не складывалось впечатление, что она не замечена или проигнорирована, выложу пока то, что успел, ибо в ближайшем будущем будет ещё более некогда.
Те полукруги, вокруг которых описаны 4х-угольники, являются вневписанными для треугольника, образованного продолжением боковых сторон и верхней стороной. Поэтому все три красные биссектрисы пересекаются в одной точке - в данном случае, в центре круга. На первом рисунке я сделал симметричную верхнюю и левую стороны, чтобы всё перенести по одну сторону от оси симметрии - красной вертикали. И тогда вся конструкция строится так (см. 2й рис.): 1) на пунктирной окружности ставим произвольную точку Х и проводим красный орт из произвольной точки D. 2) проводим отрезок ХЕ так, чтобы XD был биссектрисой угла ВХЕ. 3) строим прямую ЕС симметричную ХЕ относительно DE. 4) проводим отрезок CD. Так вот, задача сводится к тому, что нужно доказать, что отрезок CD является биссектрисой угла ХСЕ, ибо именно тогда те полукруги с центром в D будут вневписанными для треугольника ХСЕ, и следовательно, для любого Х получающиеся первичные 4х-угольники будут описанными. Дальше так. Отрезок CD будет биссектрисой угла ВСА если будет выполняться свойство биссектрисы в треугольнике, а именно: |CB|/|DB| = |CA|/|DA| Отрезки |CB| и |DB| у нас не меняются по длине при изменении положения точки Х. Значит надо доказать, что отношение |CA|/|DA|, или, что отношение sinα / sinß постоянно. Тут у нас много чего имеется: |BX|, |CX| и |BD| постоянны. Многие углы равны или смежные на прямой. Осталось взять и доказать. Но сходу за короткое время не получилось. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Glotov1 |
||
ferma-T |
|
|
Посмотрел на ситуацию свежим взглядом, и выглядит, что я сильно перемудрил, и что все намного проще.
В предыдущем посте я сказал, что надо доказать, что CD является биссектрисой. Это следует из самого построения кострукции. Позже напишу, когда время будет. А то на работе не удобно. |
||
Вернуться к началу | ||
Glotov1 |
|
|
ferma-T
, Интересный подход. У Вас будет не такое решение, как у меня. Я не предполагал дополнительных построений, а руководствовался только исходной схемой условия. |
||
Вернуться к началу | ||
ferma-T |
|
|
Вот геометрическое решение, основанное на подобии треугольников BOC и ADO. Треугольник ODC тоже, до кучи, им подобен.
Для удобства переиначим условие. В условии сказано, что если обе боковые стороны сохраняют длину, то доказать, что 4х-угольник описанный. А я докажу наоборот, что если 4х-угольник описанный и одна сторона сохраняет длину, то и вторая сторона - тоже сохраняет длину. На геометрию и рисунок это никак не влияет. Построим описанный 4х-гольник ABCD, начиная с правой стороны [math]a[/math], которая произвольной, но, по условию, постоянной длины. А левую сторону [math]c[/math] построим в последнюю очередь - уж какая получится. Углы α при вершинах А и В равны по условию. Углы ß при вершине С и углы φ при вершине D равны по построению, ибо ABCD описанный, и там биссектрисы. Сумма углов любого 4х-угольника равна 360°: 2α + 2ß + 2φ = 360°. Отсюда имеем: α + ß + φ = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) Рассмотрим треугольники ВОС и ADO. В треугольнике ВОС углы α + ß + φ' = 180° Отсюда имеем: φ' = 180° - α - ß Из (1) имеем: φ = 180° - α - ß . Значит φ' = φ. Аналогично для треугольника ADO: α + ß' + φ = 180° ß' = 180° - α - φ Из (1) имеем: ß = 180° - α - φ. Значит ß' = ß. Значит все углы треугольников ВОС и ADO равны и они подобны. Тогда имеем: [math]c\slash d = d\slash a[/math] [math]c = d^{2}\slash a[/math] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) Из (2) видно, что длина [math]c[/math] не зависит от углов, а зависит только от [math]d[/math] и [math]a[/math], которые постоянны по условию. Значит левая сторона [math]c[/math] тоже не меняет длины при изменении угла α. ______________________________________________________________________ Я ещё сделал аналитическое решение, в котором длину стороны [math]c[/math] находил строя перпендикуляры из центра к сторонам а и b в точки касания вписанной окружности и углы α и ß. Также пользовался равностью смежных отрезков между вершинами и точками касания и тем, что сумма углов 4х-угольника =360°. Тоже получилась формула c = d^2/a. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали: Glotov1 |
||
Glotov1 |
|
|
ferma-T, да, это довольно простое решение. Мое решение близко, но немного отличается:
У исходного описанного около окружности с центром в т. О четырехугольника АВСЕ треугольники ВАО, ВОС и ОСЕ подобны; это легко доказать , т.к. ВО и СО являются биссектрисами углов четырехугольника. Если мы докажем подобие трех треугольников внутри нового четырехугольника, то это будет доказательством того, что требуется по условию. Подобие треугольников ОАВ1 и С1ЕО следует из того, что у них имеется равный угол ( увеличенный на одну и ту же величину) и пропорциональны прилегающие к нему стороны ( они не изменились по длине, поэтому остались пропорциональны). Далее выводим, что угол В1ОС1 равен углам ОАВ1 и ОЕС1. Теперь рассмотрим соотношения отрезков АВ1/ОВ1 = ОЕ/ОС1 , ОЕ = АО,откуда АВ1/ОВ1 = АО/ОС1, откуда ОВ1/ОС1 = АВ1/АО, значит треугольник С1ОВ1 подобен ОАВ1 и С1ЕО. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали: ferma-T |
||
ferma-T |
|
|
Glotov1 писал(а): Мое решение близко, но немного отличается: Да, мы, действительно, рассматривали одни и те же вещи (три подобных треугольника) и выводили одни и те же соотношения между ними, только с разным подходом. Мой традиционный подход в задачах, когда нужно доказать, что что-то ("Y") не меняется при изменении "х" - это вывести "формулу" для "Y", и показать, что "х" туда не входит, а входит только то, что не меняется. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вписанные и описанные четырехугольники
в форуме Геометрия |
4 |
394 |
08 май 2015, 21:19 |
|
Вписанные и описанные четырёхугольники. Для поступающих
в форуме Геометрия |
9 |
476 |
23 сен 2016, 19:53 |
|
Геометрия. Четырехугольники, треугольники и окружности
в форуме Геометрия |
1 |
724 |
05 окт 2014, 13:43 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
10 |
715 |
03 май 2018, 23:24 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
312 |
18 апр 2018, 17:08 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
300 |
07 июн 2014, 20:15 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
133 |
09 дек 2019, 22:22 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
284 |
12 май 2016, 15:32 |
|
Длинна дуги? что тут не так
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
222 |
28 мар 2016, 22:12 |
|
Длина дуги
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
283 |
22 апр 2022, 16:09 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |