Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2021, 17:15 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть дан четырехугольник, описанный около полуокружности, углы при стороне, содержащей центр полуокружности, равны. Пусть мы оставили основание прежним, а боковые стороны повернули вокруг соответствующих вершин основания на один и тот же угол в противоположных направлениях. При этом пусть боковые стороны остались прежней длины. Докажите, что вновь образовавшийся четырехугольник так же является описанным около полуокружности.



Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2021, 15:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2374
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задачу эту тут никто пока не решил (и я сам не до конца тоже), но, чтобы не складывалось впечатление, что она не замечена или проигнорирована, выложу пока то, что успел, ибо в ближайшем будущем будет ещё более некогда.

Те полукруги, вокруг которых описаны 4х-угольники, являются вневписанными для треугольника, образованного продолжением боковых сторон и верхней стороной. Поэтому все три красные биссектрисы пересекаются в одной точке - в данном случае, в центре круга. На первом рисунке я сделал симметричную верхнюю и левую стороны, чтобы всё перенести по одну сторону от оси симметрии - красной вертикали.
Изображение

И тогда вся конструкция строится так (см. 2й рис.):

1) на пунктирной окружности ставим произвольную точку Х и проводим красный орт из произвольной точки D.
2) проводим отрезок ХЕ так, чтобы XD был биссектрисой угла ВХЕ.
3) строим прямую ЕС симметричную ХЕ относительно DE.
4) проводим отрезок CD.

Так вот, задача сводится к тому, что нужно доказать, что отрезок CD является биссектрисой угла ХСЕ, ибо именно тогда те полукруги с центром в D будут вневписанными для треугольника ХСЕ, и следовательно, для любого Х получающиеся первичные 4х-угольники будут описанными.

Дальше так.
Отрезок CD будет биссектрисой угла ВСА если будет выполняться свойство биссектрисы в треугольнике, а именно:
|CB|/|DB| = |CA|/|DA|
Отрезки |CB| и |DB| у нас не меняются по длине при изменении положения точки Х. Значит надо доказать, что отношение |CA|/|DA|, или, что отношение sinα / sinß постоянно.

Тут у нас много чего имеется: |BX|, |CX| и |BD| постоянны. Многие углы равны или смежные на прямой. Осталось взять и доказать. Но сходу за короткое время не получилось.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Glotov1
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2021, 10:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2374
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрел на ситуацию свежим взглядом, и выглядит, что я сильно перемудрил, и что все намного проще.
В предыдущем посте я сказал, что надо доказать, что CD является биссектрисой. Это следует из самого построения кострукции.
Позже напишу, когда время будет. А то на работе не удобно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2021, 11:49 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T
, Интересный подход. У Вас будет не такое решение, как у меня. Я не предполагал дополнительных построений, а руководствовался только исходной схемой условия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2021, 22:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2374
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот геометрическое решение, основанное на подобии треугольников BOC и ADO. Треугольник ODC тоже, до кучи, им подобен.

Для удобства переиначим условие. В условии сказано, что если обе боковые стороны сохраняют длину, то доказать, что 4х-угольник описанный. А я докажу наоборот, что если 4х-угольник описанный и одна сторона сохраняет длину, то и вторая сторона - тоже сохраняет длину. На геометрию и рисунок это никак не влияет.


Построим описанный 4х-гольник ABCD, начиная с правой стороны [math]a[/math], которая произвольной, но, по условию, постоянной длины. А левую сторону [math]c[/math] построим в последнюю очередь - уж какая получится.

Углы α при вершинах А и В равны по условию. Углы ß при вершине С и углы φ при вершине D равны по построению, ибо ABCD описанный, и там биссектрисы.

Сумма углов любого 4х-угольника равна 360°:

2α + 2ß + 2φ = 360°. Отсюда имеем:

α + ß + φ = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Рассмотрим треугольники ВОС и ADO.
В треугольнике ВОС углы α + ß + φ' = 180° Отсюда имеем:

φ' = 180° - α - ß

Из (1) имеем:
φ = 180° - α - ß . Значит φ' = φ.

Аналогично для треугольника ADO:

α + ß' + φ = 180°
ß' = 180° - α - φ

Из (1) имеем:
ß = 180° - α - φ. Значит ß' = ß.

Значит все углы треугольников ВОС и ADO равны и они подобны. Тогда имеем:

[math]c\slash d = d\slash a[/math]
[math]c = d^{2}\slash a[/math] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Из (2) видно, что длина [math]c[/math] не зависит от углов, а зависит только от [math]d[/math] и [math]a[/math], которые постоянны по условию. Значит левая сторона [math]c[/math] тоже не меняет длины при изменении угла α.

______________________________________________________________________

Я ещё сделал аналитическое решение, в котором длину стороны [math]c[/math] находил строя перпендикуляры из центра к сторонам а и b в точки касания вписанной окружности и углы α и ß. Также пользовался равностью смежных отрезков между вершинами и точками касания и тем, что сумма углов 4х-угольника =360°. Тоже получилась формула c = d^2/a.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ferma-T "Спасибо" сказали:
Glotov1
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 17 янв 2022, 10:37 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T, да, это довольно простое решение. Мое решение близко, но немного отличается:

У исходного описанного около окружности с центром в т. О четырехугольника АВСЕ треугольники ВАО, ВОС и ОСЕ подобны; это легко доказать , т.к. ВО и СО являются биссектрисами углов четырехугольника. Если мы докажем подобие трех треугольников внутри нового четырехугольника, то это будет доказательством того, что требуется по условию. Подобие треугольников ОАВ1 и С1ЕО следует из того, что у них имеется равный угол ( увеличенный на одну и ту же величину) и пропорциональны прилегающие к нему стороны ( они не изменились по длине, поэтому остались пропорциональны). Далее выводим, что угол В1ОС1 равен углам ОАВ1 и ОЕС1. Теперь рассмотрим соотношения отрезков
АВ1/ОВ1 = ОЕ/ОС1 , ОЕ = АО,откуда АВ1/ОВ1 = АО/ОС1, откуда ОВ1/ОС1 = АВ1/АО, значит треугольник С1ОВ1 подобен ОАВ1 и С1ЕО.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали:
ferma-T
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольники и дуги
СообщениеДобавлено: 18 янв 2022, 16:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2374
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
Мое решение близко, но немного отличается:

Да, мы, действительно, рассматривали одни и те же вещи (три подобных треугольника) и выводили одни и те же соотношения между ними, только с разным подходом.
Мой традиционный подход в задачах, когда нужно доказать, что что-то ("Y") не меняется при изменении "х" - это вывести "формулу" для "Y", и показать, что "х" туда не входит, а входит только то, что не меняется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписанные и описанные четырехугольники

в форуме Геометрия

bubateh

4

394

08 май 2015, 21:19

Вписанные и описанные четырёхугольники. Для поступающих

в форуме Геометрия

kpn65

9

476

23 сен 2016, 19:53

Геометрия. Четырехугольники, треугольники и окружности

в форуме Геометрия

Someone0310

1

724

05 окт 2014, 13:43

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

10

715

03 май 2018, 23:24

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

6

312

18 апр 2018, 17:08

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

madam9707

1

300

07 июн 2014, 20:15

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

1

133

09 дек 2019, 22:22

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

imbra

2

284

12 май 2016, 15:32

Длинна дуги? что тут не так

в форуме Интегральное исчисление

God_mode_2016

1

222

28 мар 2016, 22:12

Длина дуги

в форуме Интегральное исчисление

vichost

7

283

22 апр 2022, 16:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved