Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 13:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коллеги! Вспомнилась интересная практическая задача. Еще в 50-годы моя мама при дачном правлении состояла в Земельной Комиссии. В те времена могли выделять участки для учителей Москвы. Делалось так: колышками обозначались вершины четырехугольника с таким расчетом, чтобы площадь оказывалась 40 соток. В точности прямоугольник часто не получался, так как геология не позволяла (овраги, дороги, ручьи и т.д.). Известны координаты вершин (x1,y1),....,(x4,y4). Нужно было геометрически или алгебраически наложить на чертеж крестовину (она голубого цвета) так, чтобы все четыре участка оказались площадью 10 соток. Найти нужно координаты пяти точек, которые обозначены буквами в кружочках. Мама попросила меня, уже школьника, такую задачу решить. Решил ее или нет - хоть убейте, не помню. Но в архиве мамы этот чертеж нашел, и попытался решить задачу сегодня. Путь мне понятен, но все настолько громоздко выходит, что вынужден обратиться к форуму.
И еще: вариант разбивки единственный или их много? Если много, то какое дополнительное условие назначить? Может, точка М - точка пересечения диагоналей?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 19:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересная задача!
Avgust писал(а):
Если много, то какое дополнительное условие назначить? Может, точка М - точка пересечения диагоналей?

Вряд ли, если рассмотреть треугольник как частный случай четырехугольника, то это дополнительное условие делает задачу нерешаемой. В качестве дополнительного условие интересно проверить случай центра тяжести четырехугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 20:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
это барицентр? Возможно Вы правы, потому что если четырехугольник близок к треугольнику, то точка пересечения очень уж сдвинется в одну сторону... В принципе я так решил сегодня: попытаюсь методом Монте Карло прощупать вообще возможность решения, а потом уж придут мысли об алгебраической возможности. Но и Вы попробуйте что-то осмыслить - вдруг идея придет! Ведь сколько раз меня выручили :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 20:06 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, точка М в общем случае точкой пересечения диагоналей быть никак не может. Сразу приходит на ум вытянутая равнобокая трапеция, например, с очень разными основаниями. И если М - точка пересечения ее диагоналей, то как крест вокруг нее ни крути, равных по площади четырех участков мы никак не получим. Мне представляется эта задача чисто компьютерно-вычислительной. Какой-то красивой геометрии, по-моему, не просматривается...
(Пока рисовал карандашиком всякие варианты, michel меня уже опередил :) )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 21:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, коллеги! Думаю, самое интересное у нас тут впереди. Я сегодня повожусь со своей задумкой, результаты возможно получу, тогда что-то должно коллективно родиться. Ведь задача действительно из жизни а не из фантазий. Очень бы хотелось в итоге получить формулы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 03 сен 2021, 14:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
После поверхностного анализа становится понятно что:
1. Задача не всегда имеет решение, а именно - не выполняется условие что все полученные фигуры - четырехугольники.
2. Задача имеет только 1 решение.

3.1. Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник, выберем его наименьшую сторону, разобьем его на равновеликие из вершин наименьшей стороны, получим некоторые границы в которых будет двигаться отрезок делитель по противоположной стороне, для выполнения условия что все 4 участка должны быть равновеликими четырехугольниками.
3.2. Разобьем два получившихся четырехугольника на равновеликие части прямыми перпендикулярными к отрезку делителю. Теперь начинаем двигать край делителя из одной вершины наименьшей стороны в другую, перпендикулярные к делителю отрезки так же начнут двигаться, так как мы двигаем отрезок прямой по прямой, то отрезки будут перемещаться строго в одну сторону, то есть их основания принадлежащие делителю совпадут максимум 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 03 сен 2021, 14:43 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Задача имеет только 1 решение.
Это неверно. Задача может иметь и сколько угодно решений. Возьмем квадрат и точку М в его центре. Любой крест с центром в М разобьет этот квадрат на 4 равновеликих четырехугольника (а если крест пройдет через вершины квадрата, то на 4 равновеликих треугольника).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Avgust, Race
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 03 сен 2021, 16:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo, данный подход подойдет для любой фигуры с центральной симметрией, не обязательно квадрата. Тут же центральная симметрия не наблюдается. Хотя, признаюсь, данный факт я упустил) сразу чертил для произвольного четырехугольника, там при перемещении конца делителя по меньшей стороне мои выводы работают железобетонно.
Благо задачи разделения четырехугольника на 2 равновеликие части через заданную точку, а так же отрезком параллельным заданному мы уже решали на данном форуме.
Но, в чистом виде, по крайней мере на данный момент, я не вижу чистого геометрического решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 03 сен 2021, 16:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo
а какое условие нужно добавить, чтобы решение было единственным ( с точки зрения землемера, подготавливающего участки на продажу)?
Может, оговаривать, что задача относится только к непрямоугольным четырехугольникам?
Равнобочную трапецию я когда-то рассматривал. Там теоретически все просто выходило. Только сейчас вспомнил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник разделить на равновеликие части
СообщениеДобавлено: 03 сен 2021, 17:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
а какое условие нужно добавить, чтобы решение было единственным

Кабы знать... Легче, наверное, найти условия, при котором решение было бы не единственным. Вот, например, для ромба (ну и квадрата в частном случае). Но не для любой центрально-симметричной фигуры это проходит! Тут Race маленько поспешил. Взять, например, параллелограмм. Центральная симметрия есть, а такой фокус как с ромбом квадратом не проходит...

Тут уже я маленько поспешил. С ромбом-то этот фокус тоже не проходит! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 20 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разделить четырехугольник на 2 равновеликие части

в форуме Геометрия

Race

25

1175

03 ноя 2020, 17:00

Разделить четырехугольник на две равновеликие части #2

в форуме Геометрия

Race

13

592

29 ноя 2020, 18:29

Отрезок, делящий 4хугольник на две равновеликие части

в форуме Геометрия

rraawwrr

5

428

16 дек 2016, 16:09

Линия, делящая площадь трапеции на равновеликие части

в форуме Геометрия

rraawwrr

1

463

13 дек 2016, 11:54

Разделить угол на 3 равные части

в форуме Геометрия

sfanter

7

1986

06 июл 2014, 07:26

Разделить число на 3 неравные части

в форуме Алгебра

Regul

3

175

30 сен 2022, 22:41

Разделить отрезок на три равные части. Без "Фалеса"

в форуме Геометрия

Teo

5

2308

04 июл 2016, 21:03

Разбиения на равновеликие подмножества

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

4

69

20 фев 2024, 17:13

Кривая делит круг на части. Найти площадь наибольшей части

в форуме Интегральное исчисление

Yece

4

184

27 дек 2020, 00:00

Задача на разрезание параллелограмма на равновеликие многоуг

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

zakharova-forum

13

912

12 июл 2020, 11:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved