Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 19 май 2021, 08:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rams,спасибо!
Что интересно если отступить от темы, то озвученную т-му можно использовать для построения Прямой параллельной 2 заданным, а так же для построения прямой принадлежащей пучку прямых заданных парой прямых:
1. На плоскости, парой точек задано 2 параллельных прямых, [math]A_{1}[/math] и [math]A_{2}[/math] первая, и вторая [math]B_{1}[/math] и [math]B_{2}[/math] соответственно, а так же задана не принадлежащая прямым [math]A_{1}A_{2}[/math]и [math]B_{1}B_{2}[/math] точка [math]C_{1}[/math], используя одну линейку построить точку [math]C_{2}[/math] расположенную таким образом что бы [math]C_{1}C_{2} \parallel B_{1}B_{2} \parallel A_{1}A_{2}[/math]
Изображение
И с аналогичными условиями для пучка прямых:
Изображение
Данный пример приведен с целью показать, что по сути, данная закономерность для тройки окружностей является частным случаем другой более общей закономерности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Rams
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 20 май 2021, 00:56 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Rams писал(а):
В одно время я тоже по этой теме искал материалов. В современных литературах пишут коротко и называют Теоремой о трех колпаках /где рассматриваются только внешние центры подобия/. Нормальное объяснение нашел в Планиметрии Жак Адамар /раздел Гомотетия и подобие, где рассматриваются и внутренние центры подобия/. Доказательств почти не встретил, но все расположения легко доказываются Теоремой Менелая.
Насколько я помню, в книге [Энциклопедия элементарной математики / книга 4 / §6+] есть кое-что про это с точки зрения степени прямой относительно окружности и т.д.

Может быть будет вам полезно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gintoki-_- "Спасибо" сказали:
Race, Rams
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 17 авг 2021, 19:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
929 раз в 856 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
Еще можно так построить:
1) Отмечаем на одной из заданных прямых произвольную точку, строим из нее два луча, касающиеся данной окружности, и строим окружность с центром на второй прямой, касающуюся этих двух лучей
2) из точки пересечения заданных прямых проводим касательную к построенной окружности
3) Строим искомую окружность, касательную к прямой, окружности и ортогональную прямой ( это построение не показано, но это разновидность задачи Аполлония)

Имею пару вопросов и замечание к посту Glotov1.

Вопрос 1.
Вы (Glotov1) писали:
«2) из точки пересечения заданных прямых проводим касательную к построенной окружности».
Эта касательная (сплошная лиловая линия на моём рисунке), действительно, по сути, и решает задачу. Оказывается, что все такие произвольные построенные окружности (у меня синяя) имеют одну общую касательную. Но этот факт довольно неочевиден, и хотелось бы, что бы вы это как-то сразу объяснили, а то это вызвало целую дискуссию ниже вашего поста. Это, конечно, не так сложно постичь людям, знакомым с ПГ и заметившим, что прямая r здесь играет роль линии горизонта, но это выходит за желаемые здесь некоторыми рамки школьной геометрии.

Вопрос 2.
Вы (Glotov1) писали:
«3) Строим искомую окружность, касательную к прямой, окружности и ортогональную прямой».
Почему окружность с центром на прямой вы называете «окружностью, ортогональной прямой»? Первый раз такое слышу. Или вы что-то там делали с инверсией и у вас были ортогональные окружности, одна из которых перешла в прямую, а термин остался?

Замечание.
Вы (Glotov1) писали:
«это построение не показано, но это разновидность задачи Аполлония».
Построение окружности с центром на прямой и касающейся прямой и окружности – это, вроде бы, не задача Аполлония, а сравнительно простая задача, которая решается стягиванием окружности С в точку и сдвиганием лиловой касательной вниз на расстояние радиуса окружности С. См. рис.. После этого эта задача сводится к построению красной пунктирной окружности, проходящей через точку О и касающейся сдвинутой пунктирной лиловой прямой, что совсем просто. На рисунке показано только одно из двух решений.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 18 авг 2021, 18:13 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Вы (Glotov1) писали:
«3) Строим искомую окружность, касательную к прямой, окружности и ортогональную прямой».
Почему окружность с центром на прямой вы называете «окружностью, ортогональной прямой»? Первый раз такое слышу. Или вы что-то там делали с инверсией и у вас были ортогональные окружности, одна из которых перешла в прямую, а термин остался?
В защиту Glotov1 термин "окружность, ортогональная прямой" можно услышать от большинства людей, изучавших инверсию. [Пример употребления можно найти даже в той же самой книге Жижиклина "Инверсия" стр.21]

Насчёт того, что "у вас были ортогональные окр-сти и вы одну из них сделали прямой", то скажу, что в процессе изучения инверсии бывает полезно отказаться от слова "прямая", рассматривая прямые частным случаем окр-сти, поэтому всякая терминология связанная с окружностями [в рамках геометрии окружностей] распространяется и на прямые

Почему их можно считать ортогональными? Всё очень просто:

Если мы говорим с точки зрения геометрии окружностей, нам нужно пок-ть, что при симметрии(инверсии) относительно каждой "окр-сти" другая переходит в себя (для прямой через центр окр-сти это верно, значит они ортогональны)

Если мы говорим с точки зрения Евкливдовой геометрии, то достаточно проверить, что угол между касательными к этим кривым в точке пересечения [что вообще говоря равно углу между радиусами, проведенными к точнее пересечения (центр прямой на бесконечности)...] равен прямому углу


Оба вышеприведенных варианта показывают основания того, почему можно так называть (причем если вводить через второй вариант с касательными, то можно не приплетать инверсию и спокойно пользоваться данным термином в евклидовой геометрии)

ferma-T писал(а):
Замечание.
Вы (Glotov1) писали:
«это построение не показано, но это разновидность задачи Аполлония».
Построение окружности с центром на прямой и касающейся прямой и окружности – это, вроде бы, не задача Аполлония, а сравнительно простая задача
Может речь про "общую задачу Аполония", когда просят построить окр-сть, образующую данные углы с 3 данными? Хотя хз....

Ну и оффтоп: не то, чтобы задача Аполония в обычном смысле была сложной(особенно если брать решения из геометрии окружностей [провести биссектрисы окружностей(это окр-сти), опустить перпендикуляры(это окр-сти) из пары точек пересечения биссектрис на стороны трехокружника и провести через 3(правильно выбранных) из полученных точек пересечения(по 2 на каждой стороне) окружность (P.s. таким образом строятся все решения)]

А вот общая задача Аполония в рамках геометрии окружностей гораздо сложнее (точнее пока методы геометрии окр-стей не готовы ёё решить)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 19 авг 2021, 00:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
929 раз в 856 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gintoki-_- писал(а):
В защиту Glotov1

Ну, вы прямо адвокат Глотова1, написали целое выступление-лекцию. Вы мне объясняете очевидные вещи, но меня интересовало почему именно Глотов вдруг использовал этот термин, а не почему окружность с центром на прямой является ортогональной этой прямой. Ясно, что в инверсии понятие центра окружности теряет смысл, ибо центр после инверсии уже больше не центр, а углы между окружностями, наоборот, сохраняются. Но мне не понятно, если Глотов1 не использовал инверсию при своём решении, с чего он вдруг заменил слова из условия задачи "её центр находится на p" на такой термин? Заменять термины, используемые в условии задачи, вдруг на другие без объяснений - это смущает и сконфуживает читателя.

А насчёт термина "задача Аполлония" я придрался, потому что, в ней нигде не говорится о положении центра искомой окружности на прямой (или где-либо ещё), а тут конкретно: на прямой р.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 19 авг 2021, 11:08 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Но мне не понятно, если Глотов1 не использовал инверсию при своём решении, с чего он вдруг заменил слова из условия задачи "её центр находится на p" на такой термин? Заменять термины, используемые в условии задачи, вдруг на другие без объяснений - это смущает и сконфуживает читателя.
Я, вроде, упомянал, что некоторые любят давать понятие угла между окружностями (а особенно ортогональность) в темах, совсем не связанных с инверсией (например, многие дают это понятие когда проходят степень точки относительно окружности [хотя тут тема близкая к инверсии, но не сильно], некоторые вообще дают такие понятия без причины), поэтому использование этого термина не всегда отсылает к инверсии...

Насчёт читателя... С таким же успехом можно говорить и про задачу Аполлония. Но при этом оба термина легко гугляться....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 19 авг 2021, 23:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
929 раз в 856 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если так старательно избегать упоминания центра окружности, то желательно переопределить понятие окружность, ибо общеизвестное определение окружности включает в себя слова "центр окружности".
Но, вообще, дискуссия о терминологии мне кажется не очень интересной. Разве что неудачное использование терминов говорит о "неаккуратности" того или иного научного деятеля. Иначе, почему бы тогда вдруг иногда не называть треугольник трехсторонником? Для разнообразия, например.
Конечно, было бы лучше, если бы Глотов1 сам высказался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две прямые, две окружности
СообщениеДобавлено: 20 авг 2021, 18:44 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ferma-T писал(а):
Если так старательно избегать упоминания центра окружности, то желательно переопределить понятие окружность, ибо общеизвестное определение окружности включает в себя слова "центр окружности".
Переопределение понятия окружности: через любые три точки проходит окружность и притом только одна.
ferma-T писал(а):
Но, вообще, дискуссия о терминологии мне кажется не очень интересной.
Аналогично

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?

в форуме Геометрия

valeron1115

22

1157

14 май 2018, 12:15

Прямые

в форуме Геометрия

DeD

5

415

22 фев 2017, 09:47

Скрещивающиеся прямые

в форуме Геометрия

pon

2

399

02 дек 2014, 14:59

Прямые на плоскости

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Urazaeva

3

462

08 ноя 2017, 21:11

Изогональные прямые

в форуме Геометрия

Izogonal

2

457

13 янв 2017, 16:38

Прямые и плоскости

в форуме Геометрия

casander88

1

289

26 май 2015, 21:14

Пересекающиеся прямые

в форуме Геометрия

dasha math

1

453

22 окт 2014, 15:00

Прямые в пространстве

в форуме Геометрия

Olga1975

3

361

20 ноя 2014, 20:35

Скрещивающиеся прямые

в форуме Геометрия

Olga1975

2

416

20 ноя 2014, 23:07

Пересекающиеся прямые

в форуме Геометрия

Natali123123188288

6

356

29 ноя 2019, 14:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved