Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Масса дуги материальной кривой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=9888
Страница 1 из 1

Автор:  Oopsena [ 20 ноя 2011, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Масса дуги материальной кривой

Доброго времени суток.
не могу сообразить решение задачки:
Найти массу дуги материальной кривой
Изображение
между точками А [0;1] B [4;3], если плотность вещества

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 21 ноя 2011, 02:21 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный интеграл первого рода. Масса дуги кривой.

Соберем в одном месте все формулы.

Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]\gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода:

[math]m=\int_{L}\gamma(x,y,z)\;dl[/math]


Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной ;) :

* Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),\hspace{2mm}t\in[\alpha,\beta][/math], то

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)}\;dt\hspace{10mm}(1)[/math]


* Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt\hspace{37mm}(2)[/math]


В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), x\in[a,b][/math] имеем

[math]m=\int_{a}^{b}\gamma(x,f(x))\sqrt{1+f'(x)^2}\;dx\hspace{47mm}(3)[/math]


* Если плоская кривая задана уравнением [math]\rho=\rho(\phi}), \hspace{3mm}\phi\in[\alpha,\beta][/math] в полярных координатах, то

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(\rho\cos\phi,\rho\sin\phi)\sqrt{\rho^2+\rho '^2}\;d\phi\hspace{45mm}(4)[/math]


-----------------------------------------------------------------------
В данной задаче надо применить формулу (3):

[math]\gamma(x,y)=\frac{2\sqrt x-y}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}},\hspace{3mm}y=f(x)=2\sqrt x-1, \hspace{3mm}x\in [0,4][/math]

[math]\gamma(x,f(x))=\frac{2\sqrt x -(2\sqrt x-1)}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}[/math]

Так как
[math]f'(x)=\frac{1}{\sqrt x}[/math]
то
[math]\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}[/math]

И получаем миленький интегральчик.

Автор:  val177 [ 23 мар 2015, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса дуги материальной кривой

Доброго времени суток!
У меня с задачкой возникли проблемы, поможете?
Задача:
Найти массу кривой [math]x = 4cos(t), y = 4cos(t), z = 3sin(t)[/math] с плотностью [math]\gamma = x^{2} + y^{2} + z^{2}[/math].

Решала, дошла до такого интеграла
[math]\frac{ -41 }{ 2\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{41-23sin(u) }du + \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{(41-23sin(u))^{3} } du[/math]

Не знаю, куда дальше двигаться, чего только не пробовала.
Буду очень благодарна за помощь, подсказку, идею, а то уже третий день морочусь с этим интегралом.

Автор:  Prokop [ 23 мар 2015, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса дуги материальной кривой

val177. по правилам форума для своих задач надо открывать свою тему.
Возможно, условие Вашей задачи другое, т.к. при этом условии ответ выражается через эллиптические интегралы.

Автор:  val177 [ 23 мар 2015, 19:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса дуги материальной кривой

Извините, что вместо открытия отдельной темы написала сюда - это случайно получилось, а потом я не сообразила, как удалить, а новую тему не стала создавать, чтобы не дублировать.
Спасибо большое за ответ, я подозреваю опечатки в методичке с заданием, либо, возможно, ошибки в своих расчетах.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/