Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Oopsena |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| SzaryWilk |
|
|
|
Соберем в одном месте все формулы.
Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]\gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода: [math]m=\int_{L}\gamma(x,y,z)\;dl[/math] Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной : * Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),\hspace{2mm}t\in[\alpha,\beta][/math], то [math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)}\;dt\hspace{10mm}(1)[/math] * Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем [math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt\hspace{37mm}(2)[/math] В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), x\in[a,b][/math] имеем [math]m=\int_{a}^{b}\gamma(x,f(x))\sqrt{1+f'(x)^2}\;dx\hspace{47mm}(3)[/math] * Если плоская кривая задана уравнением [math]\rho=\rho(\phi}), \hspace{3mm}\phi\in[\alpha,\beta][/math] в полярных координатах, то [math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(\rho\cos\phi,\rho\sin\phi)\sqrt{\rho^2+\rho '^2}\;d\phi\hspace{45mm}(4)[/math] ----------------------------------------------------------------------- В данной задаче надо применить формулу (3): [math]\gamma(x,y)=\frac{2\sqrt x-y}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}},\hspace{3mm}y=f(x)=2\sqrt x-1, \hspace{3mm}x\in [0,4][/math] [math]\gamma(x,f(x))=\frac{2\sqrt x -(2\sqrt x-1)}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}[/math] Так как [math]f'(x)=\frac{1}{\sqrt x}[/math] то [math]\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}[/math] И получаем миленький интегральчик. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: Oopsena |
||
| val177 |
|
|
|
Доброго времени суток!
У меня с задачкой возникли проблемы, поможете? Задача: Найти массу кривой [math]x = 4cos(t), y = 4cos(t), z = 3sin(t)[/math] с плотностью [math]\gamma = x^{2} + y^{2} + z^{2}[/math]. Решала, дошла до такого интеграла [math]\frac{ -41 }{ 2\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{41-23sin(u) }du + \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{(41-23sin(u))^{3} } du[/math] Не знаю, куда дальше двигаться, чего только не пробовала. Буду очень благодарна за помощь, подсказку, идею, а то уже третий день морочусь с этим интегралом. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
val177. по правилам форума для своих задач надо открывать свою тему.
Возможно, условие Вашей задачи другое, т.к. при этом условии ответ выражается через эллиптические интегралы. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: val177 |
||
| val177 |
|
|
|
Извините, что вместо открытия отдельной темы написала сюда - это случайно получилось, а потом я не сообразила, как удалить, а новую тему не стала создавать, чтобы не дублировать.
Спасибо большое за ответ, я подозреваю опечатки в методичке с заданием, либо, возможно, ошибки в своих расчетах. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 5 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Масса кривой
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
793 |
18 ноя 2018, 21:19 |
|
|
Масса кривой L с заданной плотностью
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
197 |
16 окт 2019, 01:28 |
|
|
Длина дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
308 |
23 май 2016, 15:41 |
|
|
Длина дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
194 |
25 окт 2018, 21:38 |
|
|
Длина дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
404 |
25 апр 2017, 11:31 |
|
|
Длина дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
340 |
05 дек 2022, 06:27 |
|
|
Самостоятельная длина дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
138 |
04 фев 2024, 01:16 |
|
|
Найти длину дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
340 |
14 мар 2017, 23:07 |
|
|
Вычислить массу дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
235 |
12 май 2020, 14:54 |
|
|
Вычислить длину дуги кривой
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
155 |
17 апр 2024, 18:48 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |