Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Масса дуги материальной кривой
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2011, 22:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 22:00
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.
не могу сообразить решение задачки:
Найти массу дуги материальной кривой
Изображение
между точками А [0;1] B [4;3], если плотность вещества

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Криволинейный интеграл первого рода. Масса дуги кривой.
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2011, 02:21 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Соберем в одном месте все формулы.

Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]\gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода:

[math]m=\int_{L}\gamma(x,y,z)\;dl[/math]


Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной ;) :

* Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),\hspace{2mm}t\in[\alpha,\beta][/math], то

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)}\;dt\hspace{10mm}(1)[/math]


* Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\;dt\hspace{37mm}(2)[/math]


В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), x\in[a,b][/math] имеем

[math]m=\int_{a}^{b}\gamma(x,f(x))\sqrt{1+f'(x)^2}\;dx\hspace{47mm}(3)[/math]


* Если плоская кривая задана уравнением [math]\rho=\rho(\phi}), \hspace{3mm}\phi\in[\alpha,\beta][/math] в полярных координатах, то

[math]m=\int_{\alpha}^{\beta}\gamma(\rho\cos\phi,\rho\sin\phi)\sqrt{\rho^2+\rho '^2}\;d\phi\hspace{45mm}(4)[/math]


-----------------------------------------------------------------------
В данной задаче надо применить формулу (3):

[math]\gamma(x,y)=\frac{2\sqrt x-y}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}},\hspace{3mm}y=f(x)=2\sqrt x-1, \hspace{3mm}x\in [0,4][/math]

[math]\gamma(x,f(x))=\frac{2\sqrt x -(2\sqrt x-1)}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}[/math]

Так как
[math]f'(x)=\frac{1}{\sqrt x}[/math]
то
[math]\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}[/math]

И получаем миленький интегральчик.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
Oopsena
 Заголовок сообщения: Re: Масса дуги материальной кривой
СообщениеДобавлено: 23 мар 2015, 15:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 мар 2015, 15:02
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!
У меня с задачкой возникли проблемы, поможете?
Задача:
Найти массу кривой [math]x = 4cos(t), y = 4cos(t), z = 3sin(t)[/math] с плотностью [math]\gamma = x^{2} + y^{2} + z^{2}[/math].

Решала, дошла до такого интеграла
[math]\frac{ -41 }{ 2\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{41-23sin(u) }du + \frac{ 1 }{ 4\sqrt{2} } \int\limits_{0}^{2 \boldsymbol{\pi} } \sqrt{(41-23sin(u))^{3} } du[/math]

Не знаю, куда дальше двигаться, чего только не пробовала.
Буду очень благодарна за помощь, подсказку, идею, а то уже третий день морочусь с этим интегралом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Масса дуги материальной кривой
СообщениеДобавлено: 23 мар 2015, 18:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
val177. по правилам форума для своих задач надо открывать свою тему.
Возможно, условие Вашей задачи другое, т.к. при этом условии ответ выражается через эллиптические интегралы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
val177
 Заголовок сообщения: Re: Масса дуги материальной кривой
СообщениеДобавлено: 23 мар 2015, 19:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 мар 2015, 15:02
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, что вместо открытия отдельной темы написала сюда - это случайно получилось, а потом я не сообразила, как удалить, а новую тему не стала создавать, чтобы не дублировать.
Спасибо большое за ответ, я подозреваю опечатки в методичке с заданием, либо, возможно, ошибки в своих расчетах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Масса кривой

в форуме Интегральное исчисление

Cartel

3

793

18 ноя 2018, 21:19

Масса кривой L с заданной плотностью

в форуме Интегральное исчисление

qomimura

0

197

16 окт 2019, 01:28

Длина дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

Nairi

0

308

23 май 2016, 15:41

Длина дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

Gerren

1

194

25 окт 2018, 21:38

Длина дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

3

404

25 апр 2017, 11:31

Длина дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

mad_math

4

340

05 дек 2022, 06:27

Самостоятельная длина дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

ZiZeR

5

138

04 фев 2024, 01:16

Найти длину дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

alex_9

1

340

14 мар 2017, 23:07

Вычислить массу дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

Stsiapan Tsikhanau

2

235

12 май 2020, 14:54

Вычислить длину дуги кривой

в форуме Интегральное исчисление

liliya347347

1

155

17 апр 2024, 18:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved