Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 21:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 сен 2021, 02:10
Сообщений: 137
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер!
Нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
[math]x=\cos{t}+t \sin{t}[/math], [math]y=\sin{t}-t\cos{t}[/math], [math]0 \leqslant t \leqslant 2\pi[/math] (развертка круга) и [math]x=1 (y \leqslant 0)[/math].
Правильно ли я понимаю, что речь идет вот об этой фигуре (заштрихована)?
Изображение
И если да, то как найти ее площадь? Непонятно, при каком значении [math]t[/math] происходит второе пересечение кривой и прямой [math]y=0[/math]... Буду рада любой помощи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 22:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7613
Cпасибо сказано: 234
Спасибо получено:
2774 раз в 2560 сообщениях
Очков репутации: 475

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kristalliks писал(а):
Непонятно, при каком значении t происходит второе пересечение кривой и прямой
.
Решаете уравнение x(t)=1, из двух решений выбираете то, которое соответствует t, лежащему в последней четверти тригонометрического круга. К площади сектора фигуры между начальным и конечными значениями t ещё надо прибавить площадь треугольника с основанием на оси абцсисс.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kristalliks
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 22:42 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 сен 2021, 02:10
Сообщений: 137
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
почему [math]x(t)=1[/math]? Та точка очевидна, я имела в виду левую.
Разве площадь не будет от этого [math]t_1[/math], соответствующего левой точке, до [math]t_2=2\pi[/math]? Про треугольник поняла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 23:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7613
Cпасибо сказано: 234
Спасибо получено:
2774 раз в 2560 сообщениях
Очков репутации: 475

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kristalliks писал(а):
я имела в виду левую

Для левой точки решаем уравнение y(t)=0, соответствующий корень можно найти численно [math]t_1=4.493[/math], для которого [math]x(t_1)=-4.603[/math]. Как найти его аналитически, пока не вижу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kristalliks
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 23:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 сен 2021, 02:10
Сообщений: 137
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
видимо, я что-то не понимаю насчет нахождения самой площади :pardon:
Вы ведь предлагаете разделить ее на две такие части, верно?


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 23:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7613
Cпасибо сказано: 234
Спасибо получено:
2774 раз в 2560 сообщениях
Очков репутации: 475

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kristalliks писал(а):
Вы ведь предлагаете разделить ее на две такие части, верно?

Я имел в виду переход к полярным координатам, но это делать совсем не обязательно. Здесь проще сделать по известной формуле для площади фигуры, заданной параметрически.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kristalliks
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 23:51 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 сен 2021, 02:10
Сообщений: 137
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
поправьте меня, если я ошибаюсь, но при [math]0 \leqslant t \leqslant 2\pi[/math] разве не вся площадь считается, включая и часть над осью Ox?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 07 май 2024, 23:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7613
Cпасибо сказано: 234
Спасибо получено:
2774 раз в 2560 сообщениях
Очков репутации: 475

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kristalliks писал(а):
но при 0⩽t⩽2π разве не вся площадь считается, включая и часть над осью Ox?

Нет, конечно, потому что верхняя и нижняя площади при таком подсчёте берутся с разными знаками, т.е. считается разность соответствующих площадей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kristalliks
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 08 май 2024, 00:02 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 сен 2021, 02:10
Сообщений: 137
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
а, поняла! Никак не доходил этот момент. Большое спасибо Вам за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры
СообщениеДобавлено: 08 май 2024, 02:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 1071
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
427 раз в 403 сообщениях
Очков репутации: 112

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Башка уже плохо варит, но, наверное, можно так попробовать:

[math]x'_t=t\cos t,~~y'_t=t\sin t[/math]

[math]x'_ty=t\sin t\cos t - t^2\cos^2t,~~xy'_t=t\sin t\cos t+t^2\sin^2t[/math]

[math]S=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(xy'_t - x'_ty)dt=
\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}t^2dt=\frac{4}{3}\pi^3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 24 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

7

385

27 апр 2017, 11:01

Площадь фигуры

в форуме Геометрия

kucher

1

243

07 май 2016, 21:44

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Dayl

3

406

06 янв 2019, 11:40

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

imbra

5

280

12 май 2016, 15:28

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Platon

1

345

18 мар 2017, 12:23

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

lizasimpson

1

265

08 дек 2014, 21:42

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

mike tyson

1

402

07 июн 2015, 13:43

Площадь фигуры

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

ilonka

7

460

25 июн 2014, 10:41

Площадь фигуры

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

tanyhaftv

14

578

28 мар 2018, 20:41

Площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

316

31 мар 2018, 10:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved