Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 31 авг 2021, 16:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 20:14
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надежды мало, так как в сборнике Прудникова такие интегралы от [math]\arctan{x^a}[/math] даже не рассматриваются (я проверила), но спрошу на всякий случай.

Помимо численных методов, можно ли по-школьному посчитать такой интеграл от арктангенса:

[math]\int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^{2+\sqrt{3}}}}{1+x^2}\,dx[/math]


Здесь в принципе можно накрутить любые степени типа [math]3+\sqrt{8}, 4+\sqrt{15}[/math] и т.д. Такой же интеграл с бесконечным верхним пределом считается по-школьному если учесть что:

[math]\arctan{x} + \arctan{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\pi}{2}[/math]


и потом сделать подстановку [math]x\to \frac{1}{t}[/math].

А вот в интеграле с конечным верхним пределом такой маневр уже не прокатит. Но может и здесь есть какая хитрая подстановка? Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 07:48 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Torus
Сообщите, пожалуйста, из какого источника Вы взяли это задание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 09:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может опечатка и вверху бесконечность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 09:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Может опечатка и вверху бесконечность?

Torus писал(а):
Такой же интеграл с бесконечным верхним пределом считается по-школьному

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 02 сен 2021, 16:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 20:14
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет нет, господа. Никакой очепятки. Всё в абсолютной точности как и было указано в вопросе. Данный интеграл с именно бесконечным пределом считается по-школьному за две строчки. Сами посудите - разбиваем интервал интегрирования на два: от [math]0[/math] до [math]1[/math] и от [math]1[/math] до [math]+\infty[/math]:

[math]\int_\limits{0}^{+\infty} = \int_\limits{0}^{1} + \int_\limits{1}^{+\infty}[/math]


и во втором интеграле делаем подстановку [math]x=\frac{1}{t}[/math]:

[math]\int_\limits{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx= \int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx+ \int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^{-a}}}{1+x^2}\,dx[/math]


Ну, вот и вся недолга; как раз из-за того соотношения которое связаывает сумму арктангенсов от переменной [math]x[/math] и ей обратной [math]x^{-1}[/math]:

[math]\arctan{x} + \arctan{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\pi}{2}[/math]


сразу и получаем:

[math]\int_\limits{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx = \dfrac{\pi^2}{8},\;\forall \;a>0[/math]


И именно отсюда, как побочный продукт вычисления интеграла с бесконечным верхним пределом, чисто из любытства и родился у меня этот вопрос про интеграл именно с конечным верхним пределом - ведь при вычислении интегралов так частенько бывает: чуть пошевелишь его и он из пушистого школьного котенка превращается в рогатого крокозяку на котором висят дилогарифмы, функции Бесселя и Неймана, Гамма и Бета фунцкии, дзета-функция Римана, многочлены Лежандра, Эрмита и Гегенбауэра и проч и проч.

Похоже что здесь он и есть, крокозяка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый интеграл от арктангенса
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2022, 14:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 ноя 2022, 04:12
Сообщений: 43
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
13 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Torus писал(а):
Похоже что здесь он и есть, крокозяка.

Он называется интегралом Герглоца (Herglotz).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю amm "Спасибо" сказали:
mysz
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Хитрый параметрический интеграл

в форуме Интегральное исчисление

God_mode_2016

3

675

10 апр 2016, 04:21

Интеграл от арктангенса в степени

в форуме Интегральное исчисление

antares

4

527

16 июн 2016, 07:10

Хитрый шЕстиугольник

в форуме Геометрия

Rori

9

502

13 авг 2014, 23:50

Дифур арктангенса

в форуме Дифференциальное исчисление

dot618

10

265

27 апр 2021, 10:26

Пример на правило Лопиталя. Ну или это хитрый обман

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nikita250996

15

733

09 янв 2015, 12:53

Вычисление предела арктангенса стремящегося к еденице

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KreZalir

2

238

09 янв 2017, 21:26

Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

219

06 июл 2022, 22:50

Неопределённый интеграл.Правильно ли вычислен интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

1

599

18 июн 2014, 10:04

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

655

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

700

18 янв 2015, 17:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved