Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Torus |
|
|
Помимо численных методов, можно ли по-школьному посчитать такой интеграл от арктангенса: [math]\int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^{2+\sqrt{3}}}}{1+x^2}\,dx[/math] Здесь в принципе можно накрутить любые степени типа [math]3+\sqrt{8}, 4+\sqrt{15}[/math] и т.д. Такой же интеграл с бесконечным верхним пределом считается по-школьному если учесть что: [math]\arctan{x} + \arctan{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\pi}{2}[/math] и потом сделать подстановку [math]x\to \frac{1}{t}[/math]. А вот в интеграле с конечным верхним пределом такой маневр уже не прокатит. Но может и здесь есть какая хитрая подстановка? Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Torus
Сообщите, пожалуйста, из какого источника Вы взяли это задание. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Может опечатка и вверху бесконечность?
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
swan писал(а): Может опечатка и вверху бесконечность? Torus писал(а): Такой же интеграл с бесконечным верхним пределом считается по-школьному |
||
Вернуться к началу | ||
Torus |
|
|
Нет нет, господа. Никакой очепятки. Всё в абсолютной точности как и было указано в вопросе. Данный интеграл с именно бесконечным пределом считается по-школьному за две строчки. Сами посудите - разбиваем интервал интегрирования на два: от [math]0[/math] до [math]1[/math] и от [math]1[/math] до [math]+\infty[/math]:
[math]\int_\limits{0}^{+\infty} = \int_\limits{0}^{1} + \int_\limits{1}^{+\infty}[/math] и во втором интеграле делаем подстановку [math]x=\frac{1}{t}[/math]: [math]\int_\limits{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx= \int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx+ \int_\limits{0}^{1}\dfrac{\arctan{x^{-a}}}{1+x^2}\,dx[/math] Ну, вот и вся недолга; как раз из-за того соотношения которое связаывает сумму арктангенсов от переменной [math]x[/math] и ей обратной [math]x^{-1}[/math]: [math]\arctan{x} + \arctan{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\pi}{2}[/math] сразу и получаем: [math]\int_\limits{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan{x^a}}{1+x^2}\,dx = \dfrac{\pi^2}{8},\;\forall \;a>0[/math] И именно отсюда, как побочный продукт вычисления интеграла с бесконечным верхним пределом, чисто из любытства и родился у меня этот вопрос про интеграл именно с конечным верхним пределом - ведь при вычислении интегралов так частенько бывает: чуть пошевелишь его и он из пушистого школьного котенка превращается в рогатого крокозяку на котором висят дилогарифмы, функции Бесселя и Неймана, Гамма и Бета фунцкии, дзета-функция Римана, многочлены Лежандра, Эрмита и Гегенбауэра и проч и проч. Похоже что здесь он и есть, крокозяка. |
||
Вернуться к началу | ||
amm |
|
|
Torus писал(а): Похоже что здесь он и есть, крокозяка. Он называется интегралом Герглоца (Herglotz). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю amm "Спасибо" сказали: mysz |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |