Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2021, 22:34
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую всех! Ищу решение такой проблемы: есть [math]\int \sqrt{1+x^{2}}[/math] . Если в нём делать подстановку Эйлера [math]\sqrt{1+x^{2}} = t + x[/math], то мы получим интеграл [math]\int \left( \frac{ \left( t^{2}+1 \right) ^{2} }{ 4t^{2} } \right)[/math]. Он равен [math]- \frac{ t^{3} }{ 12 } - \frac{ t }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4t } + C[/math]. После обратной замены соответственно [math]- \frac{ \left(\sqrt{1+x^{2}} - x\right)^{3} }{ 12 } - \frac{ \sqrt{1+x^{2}} - x }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4\sqrt{1+x^{2}} - x} + C[/math].
Я также увидел другой путь. Если сделать замену [math]\left\langle{ x = sh(y), dx = ch(y)dy }\right\rangle[/math], то получим [math]\int \sqrt{1+sh^{2}(y)}chydy[/math] = [math]\int \sqrt{ch^{2}(y)}chydy[/math]= [math]\int ch^{2}(y)chydy[/math] =[math]\int \frac{ch(2y)+1}{2}[/math] = [math]\frac{y}{2} + \frac{sh(2y)}{4} + C[/math] =[math]\frac{arcsinh(x)}{2} + \frac{x^{2}+x^{2}+1}{4} + C[/math] = [math]\frac{ln\left| x + \sqrt{x^{2}+1} \right|}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C[/math]
Во-первых, эти вещи разные.
Во-вторых, я вбил интеграл в WolframAlpha и получил ответ, который выведен неясными для меня преобразованиями(в частности формулой понижения степени секанса под интегралом).
Вот ответ вольфрама: [math]\int \sqrt{1+x^{2}}[/math] = [math]\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}x + arcsinh(x) \right)[/math]
Что я делаю не так?


Последний раз редактировалось sabudilovskiy 13 апр 2021, 12:52, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2906
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
587 раз в 555 сообщениях
Очков репутации: 59

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sabudilovskiy писал(а):
Что я делаю не так? Если кто может ответить побыстрее, пожалуйста, помогите, а то завтра 90 интегралов сдавать(

Забейте. Если на один меньше не страшно, или любой из первых двух ответов напишите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:30 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 804
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
291 раз в 283 сообщениях
Очков репутации: 93

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int \sqrt{1+x^2}dx = \frac{ x\sqrt{1+x^2} }{ 2 } +\frac{ 1 }{ 2 } \ln{\left( x+\sqrt{1+x^2} \right) } +C[/math]

Если подробно, то :
1)интегрируем по части :
[math]\int \sqrt{1+x^2}dx = x\sqrt{1+x^2} - \int \frac{ x \cdot 2x }{ 2\sqrt{1+x^2} }dx =[/math]

[math]= x\sqrt{1+x^2} -\int \frac{ x^2 }{ \sqrt{1+x^2} }dx -\int \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2 }}dx+\int \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2 }}dx =[/math]

[math]= x\sqrt{1+x^2}-\int \sqrt{1+x^2}dx +\ln{\left( x+\sqrt{1+x^2} \right) } \Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow \int \sqrt{1+x^2}dx =\frac{ x\sqrt{1+x^2} }{ 2 } +\frac{ 1 }{ 2 } \ln{\left( x+\sqrt{1+x^2} \right) } +C[/math]


Последний раз редактировалось Pirinchily 13 апр 2021, 12:45, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
sabudilovskiy
 Заголовок сообщения: Re: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7779
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1447 раз в 1365 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sabudilovskiy писал(а):
Если в нём делать подстановку Эйлера

Это достаточно сложный путь для такого интеграла. Попробуйте по частям, чтобы корень в знаменатель ушёл. Затем уже либо первая подстановка Эйлера, либо гиперболическая подстановка, либо в таблицах ищите интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
sabudilovskiy
 Заголовок сообщения: Re: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:44 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3267
Cпасибо сказано: 515
Спасибо получено:
970 раз в 835 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неопределенный интеграл определяется неоднозначно за счет "+С". Например, вместо "+С" можно поставить, например, [math]\frac{ x^2+1 }{ x^2+1 }+C[/math]. Затем эту дробь сложить с предыдущим ответом и получить совсем другое выражение для ответа.
Поэтому форма ответов может быть разной. Но разность любых ответов должна быть константой.
Можете проверить правильность ответа дифференцированием.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Очень странный неопределённый интеграл
СообщениеДобавлено: 13 апр 2021, 12:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2021, 22:34
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо всем, кто помог!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нормальный закон распределеения, но очень странный

в форуме Теория вероятностей

Ksenia1703

2

517

29 апр 2013, 17:54

Странный интеграл или странный я

в форуме Интегральное исчисление

Nickolaich

7

331

05 июн 2011, 07:09

Странный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ShnurDash

6

169

06 дек 2019, 17:51

Как решить этот странный интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

DiscrordYaz

8

189

17 ноя 2019, 00:14

Очень сложный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

5

260

25 апр 2017, 09:56

Найти очень интересный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Valzavator

4

325

18 дек 2016, 01:05

Очень срочно. Помогите переделать интеграл=(

в форуме Интегральное исчисление

Tany22222

3

286

24 янв 2012, 08:18

Задача: решить очень сложный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Den4ke

4

394

14 мар 2016, 16:58

Странный

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

maximuschigaev

2

425

19 июл 2014, 12:59

Странный корень

в форуме Численные методы

AlexMahone

9

1317

28 мар 2013, 12:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved