Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=6764
Страница 1 из 1

Автор:  Zeresetol [ 09 июн 2011, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Здравствуйте! У меня такая задачка:
Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг оси OX, заданной параметрически

[math]\begin{cases}x=a(2\cos{t}-\cos{2t}),\\y=a(2\sin{t}-\sin{2t}).\end{cases}0\leqslant t\leqslant\pi.[/math]

После преобразований получилось вот что:
[math]4\sqrt{8}{a}^{2}\pi \int_{0}^{\pi }\mid (sin(t) - sin(t)cos(t))\mid \sqrt{1-cos(t)}[/math]

Ответ получается громоздкий, препод сказал что неправильно. Допустил ли я тут ошибку?

Автор:  Zeresetol [ 09 июн 2011, 23:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности кардиоиды

Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15

Автор:  arkadiikirsanov [ 10 июн 2011, 08:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности кардиоиды

Zeresetol писал(а):
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15
Дык енто. А конюх Федорыч ище спорил, шо атрицтильных площадей паверностей нибывает. Выходит, я только что отспорил у ниго ящик самогону бабы Нюры? А первач у ней ох как харош!

Автор:  Alexdemath [ 10 июн 2011, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Zeresetol писал(а):
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15

Неверный получили ответ.

[math]\begin{aligned}x'^2+y'^2&= \bigl[a(2\cos t - \cos2t)\bigr]'^2 + \bigl[a(2\sin t - \sin2t)\bigr]'^2 =\\ &=4a^2(-\sin t + \sin2t)^2 + 4a^2(\cos t - \cos2t)^2=\\ &=4a^2(\sin^22t - 2\sin t\sin 2t + \sin^2t) + 4a^2(\cos^2t - 2\cos t\cos 2t + \cos^22t)^2=\\ &=4a^2(2 - 2\sin t\sin 2t - 2\cos t\cos 2t) =\\ &=4a^2\bigl[ 2 - (\cos t - \cos 3t) - (\cos t + \cos 3t)\bigr] =\\ &=8a^2(1 - \cos t) \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}S &= 2\pi \int\limits_a^b y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt= 2\pi\int\limits_0^\pi a(2\sin{t}-\sin2t)\sqrt{8a^2(1-\cos{t})}\,dt=\\ &=8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (\sin{t}-\sin{t}\cos{t})\sqrt{1-\cos{t}}\,dt= 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt=\\ &=8\sqrt{2}\pi a^2 \int\limits_0^\pi(1-\cos{t})^{3/2}\,d(1-\cos{t})= \left.{8\sqrt{2}\pi a^2\, \frac{(1-\cos{t})^{1+3/2}}{1+3/2}}\right|_0^\pi=\\ &=\left.{\frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2 (1-\cos{t})^{5/2}\right|_0^\pi= \frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2\cdot2^{5/2}= \frac{128}{5}\,\pi a^2\end{aligned}[/math]

Автор:  Zeresetol [ 10 июн 2011, 20:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Спасибо. Не заметил что синус можно вынести. Решал отдельно как два интеграла.

Автор:  RAZRus [ 05 апр 2012, 02:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Ребят, а куда дели sint из[math]\begin{aligned} 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt \end{aligned}[/math] ??

Автор:  erjoma [ 05 апр 2012, 02:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Под знак дифференциала внесли.

Автор:  erjoma [ 05 апр 2012, 02:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды

Если не проходили внесение под знак дифференциала, то метод подстановки (замены переменной) скорей всего Вам преподавали.
Внесение под знак дифференциала в решении Alexdemath, идентично подстановке [math]x=1-\cos t[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/