Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 09 июн 2011, 22:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 ноя 2010, 13:56
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! У меня такая задачка:
Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг оси OX, заданной параметрически

[math]\begin{cases}x=a(2\cos{t}-\cos{2t}),\\y=a(2\sin{t}-\sin{2t}).\end{cases}0\leqslant t\leqslant\pi.[/math]

После преобразований получилось вот что:
[math]4\sqrt{8}{a}^{2}\pi \int_{0}^{\pi }\mid (sin(t) - sin(t)cos(t))\mid \sqrt{1-cos(t)}[/math]

Ответ получается громоздкий, препод сказал что неправильно. Допустил ли я тут ошибку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности кардиоиды
СообщениеДобавлено: 09 июн 2011, 23:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 ноя 2010, 13:56
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности кардиоиды
СообщениеДобавлено: 10 июн 2011, 08:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zeresetol писал(а):
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15
Дык енто. А конюх Федорыч ище спорил, шо атрицтильных площадей паверностей нибывает. Выходит, я только что отспорил у ниго ящик самогону бабы Нюры? А первач у ней ох как харош!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 10 июн 2011, 15:12 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zeresetol писал(а):
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15

Неверный получили ответ.

[math]\begin{aligned}x'^2+y'^2&= \bigl[a(2\cos t - \cos2t)\bigr]'^2 + \bigl[a(2\sin t - \sin2t)\bigr]'^2 =\\ &=4a^2(-\sin t + \sin2t)^2 + 4a^2(\cos t - \cos2t)^2=\\ &=4a^2(\sin^22t - 2\sin t\sin 2t + \sin^2t) + 4a^2(\cos^2t - 2\cos t\cos 2t + \cos^22t)^2=\\ &=4a^2(2 - 2\sin t\sin 2t - 2\cos t\cos 2t) =\\ &=4a^2\bigl[ 2 - (\cos t - \cos 3t) - (\cos t + \cos 3t)\bigr] =\\ &=8a^2(1 - \cos t) \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}S &= 2\pi \int\limits_a^b y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt= 2\pi\int\limits_0^\pi a(2\sin{t}-\sin2t)\sqrt{8a^2(1-\cos{t})}\,dt=\\ &=8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (\sin{t}-\sin{t}\cos{t})\sqrt{1-\cos{t}}\,dt= 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt=\\ &=8\sqrt{2}\pi a^2 \int\limits_0^\pi(1-\cos{t})^{3/2}\,d(1-\cos{t})= \left.{8\sqrt{2}\pi a^2\, \frac{(1-\cos{t})^{1+3/2}}{1+3/2}}\right|_0^\pi=\\ &=\left.{\frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2 (1-\cos{t})^{5/2}\right|_0^\pi= \frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2\cdot2^{5/2}= \frac{128}{5}\,\pi a^2\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, RAZRus, Zeresetol
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 10 июн 2011, 20:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 ноя 2010, 13:56
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Не заметил что синус можно вынести. Решал отдельно как два интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 05 апр 2012, 02:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 мар 2012, 20:14
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ребят, а куда дели sint из[math]\begin{aligned} 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt \end{aligned}[/math] ??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 05 апр 2012, 02:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Под знак дифференциала внесли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
RAZRus
 Заголовок сообщения: Re: Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
СообщениеДобавлено: 05 апр 2012, 02:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не проходили внесение под знак дифференциала, то метод подстановки (замены переменной) скорей всего Вам преподавали.
Внесение под знак дифференциала в решении Alexdemath, идентично подстановке [math]x=1-\cos t[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
RAZRus
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги

в форуме Интегральное исчисление

Lflybuk

7

750

04 май 2020, 03:52

Кривизны поверхности, образованной вращением параболы

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

hurrdurrrderp

5

1112

09 фев 2015, 03:50

Объем фигуры, полученной вращением кардиоиды вокруг ОХ

в форуме Интегральное исчисление

ziper4x4

1

630

07 апр 2015, 19:26

Площадь кардиоиды

в форуме Интегральное исчисление

makc2299

18

430

28 май 2019, 00:12

Площадь кардиоиды в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

seo_nil

5

541

24 май 2018, 18:10

Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Elena21

1

646

27 мар 2015, 23:25

Уравнение поверхности,полученной вращением кривой вокруг ос

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

__kat__s

1

667

30 апр 2020, 09:36

Уравнение поверхности,полученной вращением кривой вокруг оси

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mayer

7

1304

03 дек 2015, 21:53

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

carti539

12

325

14 янв 2024, 15:24

Площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

maksustoff

1

265

13 май 2016, 00:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved