Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Zeresetol |
|
|
|
Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг оси OX, заданной параметрически [math]\begin{cases}x=a(2\cos{t}-\cos{2t}),\\y=a(2\sin{t}-\sin{2t}).\end{cases}0\leqslant t\leqslant\pi.[/math] После преобразований получилось вот что: [math]4\sqrt{8}{a}^{2}\pi \int_{0}^{\pi }\mid (sin(t) - sin(t)cos(t))\mid \sqrt{1-cos(t)}[/math] Ответ получается громоздкий, препод сказал что неправильно. Допустил ли я тут ошибку? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Zeresetol |
|
|
|
Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15
|
||
| Вернуться к началу | ||
| arkadiikirsanov |
|
|
|
Zeresetol писал(а): Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15 Дык енто. А конюх Федорыч ище спорил, шо атрицтильных площадей паверностей нибывает. Выходит, я только что отспорил у ниго ящик самогону бабы Нюры? А первач у ней ох как харош! |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Zeresetol писал(а): Перерешил. Ответ: (-256*pi*а^2)/15 Неверный получили ответ. [math]\begin{aligned}x'^2+y'^2&= \bigl[a(2\cos t - \cos2t)\bigr]'^2 + \bigl[a(2\sin t - \sin2t)\bigr]'^2 =\\ &=4a^2(-\sin t + \sin2t)^2 + 4a^2(\cos t - \cos2t)^2=\\ &=4a^2(\sin^22t - 2\sin t\sin 2t + \sin^2t) + 4a^2(\cos^2t - 2\cos t\cos 2t + \cos^22t)^2=\\ &=4a^2(2 - 2\sin t\sin 2t - 2\cos t\cos 2t) =\\ &=4a^2\bigl[ 2 - (\cos t - \cos 3t) - (\cos t + \cos 3t)\bigr] =\\ &=8a^2(1 - \cos t) \end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned}S &= 2\pi \int\limits_a^b y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt= 2\pi\int\limits_0^\pi a(2\sin{t}-\sin2t)\sqrt{8a^2(1-\cos{t})}\,dt=\\ &=8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (\sin{t}-\sin{t}\cos{t})\sqrt{1-\cos{t}}\,dt= 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt=\\ &=8\sqrt{2}\pi a^2 \int\limits_0^\pi(1-\cos{t})^{3/2}\,d(1-\cos{t})= \left.{8\sqrt{2}\pi a^2\, \frac{(1-\cos{t})^{1+3/2}}{1+3/2}}\right|_0^\pi=\\ &=\left.{\frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2 (1-\cos{t})^{5/2}\right|_0^\pi= \frac{16\sqrt2}{5}\,\pi a^2\cdot2^{5/2}= \frac{128}{5}\,\pi a^2\end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math, RAZRus, Zeresetol |
||
| Zeresetol |
|
|
|
Спасибо. Не заметил что синус можно вынести. Решал отдельно как два интеграла.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| RAZRus |
|
|
|
Ребят, а куда дели sint из[math]\begin{aligned} 8\sqrt{2} \pi a^2\int\limits_0^\pi (1-\cos{t})^{3/2}\sin{t}\,dt \end{aligned}[/math] ??
|
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Под знак дифференциала внесли.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: RAZRus |
||
| erjoma |
|
|
|
Если не проходили внесение под знак дифференциала, то метод подстановки (замены переменной) скорей всего Вам преподавали.
Внесение под знак дифференциала в решении Alexdemath, идентично подстановке [math]x=1-\cos t[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: RAZRus |
||
|
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |