| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=6590 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | vlad_vicodin [ 05 июн 2011, 17:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам |
Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам. Область интегрирования изобразить на чертеже [math]\iint\limits_{D}\frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \quad D\colon\,x^2+y^2=1,~x\geqslant0,~y\geqslant0[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 июн 2011, 19:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам |
Область интегрирования есть четверть круга [math]x^2+y^2=1[/math], лежащая в первом квадранте. Думаю, нарисовать её Вам несложно. [math]\begin{aligned}\iint\limits_D\frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2} }&= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\y=r\sin\varphi,\hfill\\J=r\hfill\end{gathered}\right\}= \int\limits_0^{\pi /2}d\varphi \int\limits_0^1\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr= \frac{\pi}{2}\int\limits_0^1 r(1-r^2)^{-1/2}\,dr=\\[3pt] &=-\frac{\pi}{4}\int\limits_0^1(1-r^2)^{-1/2}\,d(1-r^2)= \left.{-\frac{\pi}{4}\frac{(1-r^2)^{1-1/2}}{1-1/2}}\right|_0^1=\\[3pt] &=\left.{-\frac{\pi}{2}\sqrt{1-r^2}}\right|_0^1= -\frac{\pi}{2}(0-1)=\frac{\pi}{2}\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | vlad_vicodin [ 06 июн 2011, 21:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам |
спасибо. все таки я правильно решил) |
|
| Автор: | denfox_94 [ 16 янв 2013, 16:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам |
Alexdemath писал(а): Область интегрирования есть четверть круга [math]x^2+y^2=1[/math], лежащая в первом квадранте. Думаю, нарисовать её Вам несложно. [math]\begin{aligned}\iint\limits_D\frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2} }&= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\y=r\sin\varphi,\hfill\\J=r\hfill\end{gathered}\right\}= \int\limits_0^{\pi |2}d\varphi \int\limits_0^1\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr= \frac{\pi}{2}\int\limits_0^1 r(1-r^2)^{-1|2}\,dr=\\[3pt] &=-\frac{\pi}{4}\int\limits_0^1(1-r^2)^{-1|2}\,d(1-r^2)= \left.{-\frac{\pi}{4}\frac{(1-r^2)^{1-1|2}}{1-1|2}}\right|_0^1=\\[3pt] &=\left.{-\frac{\pi}{2}\sqrt{1-r^2}}\right|_0^1= -\frac{\pi}{2}(0-1)=\frac{\pi}{2}\end{aligned}[/math] а какой будут границы интегрирования, если область задана так x^2 + y^2 = x |
|
| Автор: | Yurik [ 16 янв 2013, 16:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам |
denfox_94 писал(а): а какой будут границы интегрирования, если область задана так x^2 + y^2 = x [math]\phi[/math] от [math]0[/math] до [math]\frac{\pi}{2}[/math] [math]\rho[/math] от [math]0[/math] до [math]\cos \phi[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|