| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=6587 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Ole4ka [ 05 июн 2011, 16:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида |
Помогите пожалуйста вычислить поверхностный интеграл второго рода: [math]\iint\limits_{S} {zdxdy+(5x+y)dydz}}[/math] S - внутренняя сторона эллипсоида (как выглядит эллипсоид, я представляю) [math]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2=1[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 июн 2011, 11:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл |
Ole4ka Формулу Остроградского можно использовать?? |
|
| Автор: | Ole4ka [ 06 июн 2011, 13:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл |
Да, можно |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 июн 2011, 14:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл |
Так как внутренняя сторона эллипсоида, то перед тройным интеграл пишем минус и переходим в обобщённые полярные координаты: [math]\begin{aligned}\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_S& \,z\,dxdy + (5x + y)\,dydz = - \iiint\limits_{\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}+z^2\leqslant1}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}(5x+y)+\frac{\partial}{\partial y}0 + \frac{\partial}{\partial z}z\right)\!dxdydz=\\[2pt] &= -12\iint\limits_{\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}\leqslant1}\!\sqrt{1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}}\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = 2r\cos \varphi , \hfill \\y = 3r\sin \varphi \hfill \\J = 2 \cdot 3 \cdot r \hfill\end{gathered}\right\}= -72\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 r\sqrt{1-r^2}\,drd\varphi=\\[2pt] &=-144\pi\int\limits_0^1 r\sqrt{1-r^2}\,dr= 72\pi \int\limits_0^1 (1-r^2)^{1/2}\,d(1-r^2)= \left. {72\pi\cdot\frac{(1-r^2)^{1+1/2}}{1+1/2}}\right|_0^1=\\[2pt] &=\left.{48\pi\cdot(1-r^2)^{3/2}}\right|_0^1= 48\pi\cdot(0-1)= -48\pi\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | sebay [ 09 фев 2012, 19:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида |
Alexdemath а почему в самом первом равенстве перед интегралом минус? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 10 фев 2012, 01:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида |
sebay, я написал, почему Alexdemath писал(а): Так как внутренняя сторона эллипсоида
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|