Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=6587
Страница 1 из 1

Автор:  Ole4ka [ 05 июн 2011, 16:51 ]
Заголовок сообщения:  Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида

Помогите пожалуйста вычислить поверхностный интеграл второго рода:
[math]\iint\limits_{S} {zdxdy+(5x+y)dydz}}[/math]

S - внутренняя сторона эллипсоида (как выглядит эллипсоид, я представляю)
[math]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2=1[/math]

Автор:  Alexdemath [ 06 июн 2011, 11:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

Ole4ka

Формулу Остроградского можно использовать??

Автор:  Ole4ka [ 06 июн 2011, 13:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

Да, можно

Автор:  Alexdemath [ 06 июн 2011, 14:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

Так как внутренняя сторона эллипсоида, то перед тройным интеграл пишем минус и переходим в обобщённые полярные координаты:

[math]\begin{aligned}\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_S& \,z\,dxdy + (5x + y)\,dydz = - \iiint\limits_{\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}+z^2\leqslant1}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}(5x+y)+\frac{\partial}{\partial y}0 + \frac{\partial}{\partial z}z\right)\!dxdydz=\\[2pt] &= -12\iint\limits_{\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}\leqslant1}\!\sqrt{1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}}\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = 2r\cos \varphi , \hfill \\y = 3r\sin \varphi \hfill \\J = 2 \cdot 3 \cdot r \hfill\end{gathered}\right\}= -72\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 r\sqrt{1-r^2}\,drd\varphi=\\[2pt] &=-144\pi\int\limits_0^1 r\sqrt{1-r^2}\,dr= 72\pi \int\limits_0^1 (1-r^2)^{1/2}\,d(1-r^2)= \left. {72\pi\cdot\frac{(1-r^2)^{1+1/2}}{1+1/2}}\right|_0^1=\\[2pt] &=\left.{48\pi\cdot(1-r^2)^{3/2}}\right|_0^1= 48\pi\cdot(0-1)= -48\pi\end{aligned}[/math]

Автор:  sebay [ 09 фев 2012, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида

Alexdemath
а почему в самом первом равенстве перед интегралом минус?

Автор:  Alexdemath [ 10 фев 2012, 01:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл по внутренней стороне эллипсоида

sebay, я написал, почему

Alexdemath писал(а):
Так как внутренняя сторона эллипсоида

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/