Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 05:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с решением несобственных интегралов.

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) [math]\int\limits_{0}^{ \infty }\frac{ dx }{ x^{3}+4 }dx[/math]

2) [math]\int\limits_{e}^{+ \infty }\frac{ dx }{ \sqrt{x^{3} } } dx[/math]

3) [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{ dx }{ \sqrt{x^{3} } }[/math]

4) [math]\int\limits_{1}^{2}\frac{ x^{2} }{ (x-1) \cdot \sqrt{(x-1)} }dx[/math]

Интегралы 2), 3), 4) расходятся (у меня; если не трудно, пожалуйста, проверьте так ли это).

С первым интегралом заминка у меня (хотя кажется, что должен сходиться), как к нему "подобраться" лучше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 09:21 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21871
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1983
Спасибо получено:
4859 раз в 4547 сообщениях
Очков репутации: 836

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Первый интеграл сходится. Чтобы "подобраться" к нему, по-моему, нужно воспользоваться формулой разложения суммы кубов в произведение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 10:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Первый интеграл сходится. Чтобы "подобраться" к нему, по-моему, нужно воспользоваться формулой разложения суммы кубов в произведение.


Так и попробую сделать (правда, наверное, громоздко будет).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 351w "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 10:19 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21871
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1983
Спасибо получено:
4859 раз в 4547 сообщениях
Очков репутации: 836

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Возможно, существует и другой способ вычисления первообразной. Но чтобы воспользоваться указанным мной, используйте онлайн-калькулятор. Не нужно тратить время на доведение до автоматизма счётных навыков в интегрировании: слишком коротка жизнь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 11:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7962
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1476 раз в 1394 сообщениях
Очков репутации: 211

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
Интегралы 2), 3), 4) расходятся (у меня;

Насчёт второго интеграла поясните.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 11:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
705 раз в 680 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Насчёт второго интеграла поясните.

[math]\int\limits_{e}^{+ \infty } \frac{ 1 }{ \sqrt{x^{3} } }dx = \int\limits_{e}^{ +\infty } x^{-\frac{ 2 }{ 3 } }dx =
\lim_{x \to + \infty } 3\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{e} = + \infty[/math]
- 3[math]\sqrt[3]{e}[/math], чего нужно обяснять?

Можно Вы имели в виду 3) - Да он сходиться и = 3, мальчик здесь допустил по моему ошибку, что он расходиться!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 16:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12749
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1147
Спасибо получено:
3537 раз в 3105 сообщениях
Очков репутации: 664

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Это известный из ТВ интеграл при [math]a>0[/math]:

[math]\int \limits_0^{\infty}\frac{dx}{x^3+8a}=\frac{\pi}{6\sqrt{3}\,a^{\frac 23}}[/math]

У Вас [math]a=\frac 12[/math]

Тогда ответ: [math]\frac{\pi}{3^{\frac 32}\cdot 2^{\frac 12}}\approx 0.480[/math]

Другой подход. Я давно вывел новый табличный интеграл (помести его в Вики, но через год кто-то стер):

https://yandex.ru/images/search?text=%D0%BA%D0%B0%D0%BA%20%D0%BC%D1%8B%20%D1%81%20%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%8E%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D0%BD%D0%B0%D1%88%D0%BB%D0%B8%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&img_url=http%3A%2F%2Fs40.radikal.ru%2Fi087%2F1303%2F1f%2F3b99668ef645.jpg&pos=1&rpt=simage&lr=117443

Если подставить [math]a=4^{\frac 13}[/math], то получим тот же результат
[math]\frac{\pi}{3^{\frac 32}\cdot 2^{\frac 12}}\approx 0.480[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 17:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12749
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1147
Спасибо получено:
3537 раз в 3105 сообщениях
Очков репутации: 664

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй вариант и можно использовать, так как имеем компактный неопределенный интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 17:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
searcher писал(а):
Насчёт второго интеграла поясните.

[math]\int\limits_{e}^{+ \infty } \frac{ 1 }{ \sqrt{x^{3} } }dx = \int\limits_{e}^{ +\infty } x^{-\frac{ 2 }{ 3 } }dx =
\lim_{x \to + \infty } 3\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{e} = + \infty[/math]
- 3[math]\sqrt[3]{e}[/math], чего нужно обяснять?

Можно Вы имели в виду 3) - Да он сходиться и = 3, мальчик здесь допустил по моему ошибку, что он расходиться!


У меня так получается:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 18:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12749
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1147
Спасибо получено:
3537 раз в 3105 сообщениях
Очков репутации: 664

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4) Расходится даже если в числителе будет икс в двадцатой степени. Ну, деление на ноль потому что; при почти единичном числителе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Zed

5

355

14 апр 2015, 21:00

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Merhaba

3

292

25 май 2013, 20:28

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

AMAM55

6

368

31 май 2015, 12:07

несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

xothdaah

1

337

20 май 2012, 19:46

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

6

364

13 апр 2015, 21:35

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

qwertyuiop

1

215

24 фев 2016, 19:37

несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

tressel

9

627

16 мар 2012, 19:16

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

5

159

18 июн 2020, 03:24

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Dimasik

0

217

28 май 2013, 21:55

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

0

179

25 янв 2016, 19:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved