Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=54932
Страница 1 из 1

Автор:  cflbcn [ 12 июн 2017, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенный интеграл

Не могу разобраться как решать данные неопределенные интегралы:
1.[math]\int \frac{ dx }{ \left[ 1+\sqrt{x(1+x)} \right]^{2} }[/math]

2.[math]\int \frac{ \sqrt{x^{2}+x+1 } }{ (x+1)^{2} }dx[/math]

3.[math]\int \frac{ dx }{ e^{\frac{ x }{ 2 } }+ e^{x} }[/math]

Автор:  anonim228 [ 12 июн 2017, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

3.

[math]t=e^{\frac{x}{2}} \\
dt=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}dx\\
dx=\frac{2dt}{e^{\frac{x}{2}}}=\frac{2dt}{t}[/math]


[math]\int \frac{dx}{ e^{\frac{x}{2}} + e^x}=2\int \frac{dt}{t(t+t^2)}=2\int \frac{dt}{t^2(1+t)}[/math]

Далее уже интегрирование дроби, думаю, не вызовет трудностей.

2.

[math]\sqrt{x^2+x+1} = t-x \\ x^2+x+1=t^2-2tx+x^2 \\ 2tx+x+1 = t^2 \\ x(2t+1)=t^2-1 \\ x= \frac{t^2-1}{2t+1} \\ x+1 = \frac{t^2-1}{2t+1}+1=\frac{t^2-1+2t+1}{2t+1}=\frac{t^2+2t}{2t+1}=\frac{t(t+2)}{2t+1} \\ dx = \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}dt \\ \sqrt{x^2+x+1} = t- \frac{t^2-1}{2t+1}=\frac{t^2+t+1}{2t+1}\\\\[/math]

С учётом этих выражений получим, что

[math]\\ \int \frac{\sqrt{x^2+x+1}dx}{(x+1)^2}=\int \frac{(t^2+t+1)^2dt}{t^2(t+2)^2(t+\frac{1}{2})}\\[/math]
Дальше - сами.

Автор:  anonim228 [ 12 июн 2017, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

1.

[math]\sqrt {x^2+x}=tx \\ x^2+x=t^2x^2 \\ x+1=t^2x \\ x(1-t^2)=-1 \\ x=\frac{1}{t^2-1} \\dx =\frac{-2tdt}{(t^2-1)^2}\\ \sqrt {x^2+x}=\frac{t}{t^2-1}\\
(1+\sqrt {x^{2}+x})^{2}=(1+\frac{t}{t^2-1})^2=(\frac{t^2-1+t}{t^2-1})^2\\\\[/math]


С учетом всех этих подстановок имеем
[math]\int \frac{dx}{(1+\sqrt {x^{2}+x})^{2}}=-2 \int \frac{tdt}{(t^2+t-1)^2}[/math]
Дальше сами.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/