Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=54055
Страница 1 из 1

Автор:  Qller [ 21 апр 2017, 19:28 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

[math]\int\limits_{0}^{1} \frac{ dx }{ 1-x^{2} + 2 \cdot \sqrt{1-x^{2} } }[/math]

Я понимаю, что это несобственный интеграл. Но взять его нужно в любом случае, а с этим трудности.

Автор:  mad_math [ 21 апр 2017, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Сделать стандартную тригонометрическую подстановку [math]x=\sin{t},\,dx=\cos{t}dt,t_1=0,\,t_2=\frac{\pi}{2}[/math]
Получим
[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{1-\sin^2{t}+2\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cdot\sqrt{\cos^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cos{t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(\cos{t}+1)^2-1}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}})^2-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{4\cos^4{\frac{t}{2}}-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)(2\cos^2{\frac{t}{2}}+1)}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}+1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\frac{1}{\cos^2{\frac{t}{2}}}}\cdot\frac{dt}{\cos^2{\frac{t}{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{2+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}+1}\cdot\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{3+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}}\cdot d\left(\operatorname{tg}\frac{t}{2}\right)=...[/math]

Автор:  mad_math [ 21 апр 2017, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Кстати, а чего ради он несобственный?

Автор:  searcher [ 21 апр 2017, 20:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

.

Автор:  pewpimkin [ 21 апр 2017, 20:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Он переродился по ходу решения, а вначале при х=1 разве не несобственный?

Автор:  mad_math [ 21 апр 2017, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

pewpimkin писал(а):
вначале при х=1 разве не несобственный?
Да. Двойка перед корнем меня спутала. :oops:

Автор:  Qller [ 21 апр 2017, 21:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Спасибо большое!
Только одно разногласие. На последнем этапе, что вы представили, под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат.

Автор:  Human [ 21 апр 2017, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Альтернативный подход, который, по идее, должен сразу приходить на ум: подынтегральная функция имеет стандартный тип [math]R\left(x,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)[/math], так что интеграл сводится к рациональному заменой [math]\frac{1-x}{1+x}=t^2[/math]. Другие методы стоит применять, если этот подход приводит к громоздким выкладкам.

Автор:  mad_math [ 21 апр 2017, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Qller писал(а):
под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат
Опечатка. Исправила.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/