| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=54055 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Qller [ 21 апр 2017, 19:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
[math]\int\limits_{0}^{1} \frac{ dx }{ 1-x^{2} + 2 \cdot \sqrt{1-x^{2} } }[/math] Я понимаю, что это несобственный интеграл. Но взять его нужно в любом случае, а с этим трудности. |
|
| Автор: | mad_math [ 21 апр 2017, 19:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Сделать стандартную тригонометрическую подстановку [math]x=\sin{t},\,dx=\cos{t}dt,t_1=0,\,t_2=\frac{\pi}{2}[/math] Получим [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{1-\sin^2{t}+2\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cdot\sqrt{\cos^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cos{t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(\cos{t}+1)^2-1}=[/math] [math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}})^2-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{4\cos^4{\frac{t}{2}}-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)(2\cos^2{\frac{t}{2}}+1)}=[/math] [math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}+1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\frac{1}{\cos^2{\frac{t}{2}}}}\cdot\frac{dt}{\cos^2{\frac{t}{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{2+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}+1}\cdot\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}}=[/math] [math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{3+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}}\cdot d\left(\operatorname{tg}\frac{t}{2}\right)=...[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 21 апр 2017, 19:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Кстати, а чего ради он несобственный? |
|
| Автор: | searcher [ 21 апр 2017, 20:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 21 апр 2017, 20:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Он переродился по ходу решения, а вначале при х=1 разве не несобственный? |
|
| Автор: | mad_math [ 21 апр 2017, 21:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
pewpimkin писал(а): вначале при х=1 разве не несобственный? Да. Двойка перед корнем меня спутала.
|
|
| Автор: | Qller [ 21 апр 2017, 21:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Спасибо большое! Только одно разногласие. На последнем этапе, что вы представили, под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат. |
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2017, 21:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Альтернативный подход, который, по идее, должен сразу приходить на ум: подынтегральная функция имеет стандартный тип [math]R\left(x,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)[/math], так что интеграл сводится к рациональному заменой [math]\frac{1-x}{1+x}=t^2[/math]. Другие методы стоит применять, если этот подход приводит к громоздким выкладкам. |
|
| Автор: | mad_math [ 21 апр 2017, 22:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Qller писал(а): под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат Опечатка. Исправила.
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|