Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 19:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 апр 2017, 16:34
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_{0}^{1} \frac{ dx }{ 1-x^{2} + 2 \cdot \sqrt{1-x^{2} } }[/math]

Я понимаю, что это несобственный интеграл. Но взять его нужно в любом случае, а с этим трудности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 19:54 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сделать стандартную тригонометрическую подстановку [math]x=\sin{t},\,dx=\cos{t}dt,t_1=0,\,t_2=\frac{\pi}{2}[/math]
Получим
[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{1-\sin^2{t}+2\cdot\sqrt{1-\sin^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cdot\sqrt{\cos^2{t}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{\cos^2{t}+2\cos{t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(\cos{t}+1)^2-1}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{t}dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}})^2-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{4\cos^4{\frac{t}{2}}-1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)dt}{(2\cos^2{\frac{t}{2}}-1)(2\cos^2{\frac{t}{2}}+1)}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}+1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\frac{1}{\cos^2{\frac{t}{2}}}}\cdot\frac{dt}{\cos^2{\frac{t}{2}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{2+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}+1}\cdot\frac{dt}{2\cos^2{\frac{t}{2}}}=[/math]

[math]=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{3+\operatorname{tg}^2\frac{t}{2}}\cdot d\left(\operatorname{tg}\frac{t}{2}\right)=...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Qller
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 19:59 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати, а чего ради он несобственный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 20:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 20:25 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Он переродился по ходу решения, а вначале при х=1 разве не несобственный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 21:06 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
вначале при х=1 разве не несобственный?
Да. Двойка перед корнем меня спутала. :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 21:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 апр 2017, 16:34
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!
Только одно разногласие. На последнем этапе, что вы представили, под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 21:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Альтернативный подход, который, по идее, должен сразу приходить на ум: подынтегральная функция имеет стандартный тип [math]R\left(x,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)[/math], так что интеграл сводится к рациональному заменой [math]\frac{1-x}{1+x}=t^2[/math]. Другие методы стоит применять, если этот подход приводит к громоздким выкладкам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 22:37 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Qller писал(а):
под дифференциал вносится просто тангенс, не его квадрат
Опечатка. Исправила.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

274

06 июл 2022, 22:50

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

620

16 апр 2017, 21:43

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ilmir254

1

107

25 май 2020, 19:39

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

nazik

1

104

08 апр 2018, 16:32

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

5

215

20 май 2020, 14:38

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

389

11 фев 2019, 17:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved