Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл х^-1/2*e^-хn
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=53662
Страница 1 из 1

Автор:  Sniper53 [ 31 мар 2017, 12:29 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл х^-1/2*e^-хn

Добрый день всем! Пытаюсь вывести формулу (она готовая есть во всех учебниках , просто хочу сам до нее дойти) для расчета вероятности ошибочного бита в канале с релеевскими замираниями.
Второй день мучаюсь с интегралом [math]\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt x }}} \cdot {e^{ - x(\frac{{1 + y}}{y})}}dx[/math], подскажите пожалуйста, что с ним можно сделать? По частям пробовал не получается, с заменой тоже трудности возникли, сижу ковыряюсь...

Если брать целиком всю формулу, она выглядит так:[math]\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt x }}} \cdot {e^{ - x(\frac{{1 + y}}{y})}}dx = \frac{1}{2}(1 - \sqrt {\frac{{1 + y}}{y}} )[/math]

Подозреваю, что нужно как то хитро заменить переменную, буду признателен если поможете! Заранее спасибо! :)

Автор:  venjar [ 31 мар 2017, 12:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл х^-1/2*e^-хn

Он легко сводится к интегралу типа

[math]\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt x }}} \cdot {e^{ - x}}dx[/math],
а этот заменой [math]x=t^2[/math] сводится к известному интегралу
[math]\int\limits_0^\infty {e^{ - t^2}}dt[/math]. Этот интеграл разобран в Фихтенгольце (там квадрат такого интеграла сводится к двойному, который вычисляется в полярной системе координат).

Автор:  Xmas [ 31 мар 2017, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл х^-1/2*e^-хn

Sniper53, если я верно помню, то в формуле для замираний сам интеграл напрямую в элементарных функциях не выражается. Формулу просто преобразуют к выражению, содержащему стандартный интеграл ошибок ([math]\mathrm{erf}(\cdot)[/math]), а дальше трюк в том, что в нуле и в бесконечности значения стандартного интеграла ошибок известны (нуль и единица). Так что интеграл сдаётся без боя.

Автор:  Sniper53 [ 31 мар 2017, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл х^-1/2*e^-хn

venjar писал(а):
Он легко сводится к интегралу типа

[math]\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt x }}} \cdot {e^{ - x}}dx[/math],
а этот заменой [math]x=t^2[/math] сводится к известному интегралу
[math]\int\limits_0^\infty {e^{ - t^2}}dt[/math]. Этот интеграл разобран в Фихтенгольце (там квадрат такого интеграла сводится к двойному, который вычисляется в полярной системе координат).


Спасибо за подсказку в каком направлении двигаться! :beer: Буду дальше долбить его!


Xmas писал(а):
Sniper53, если я верно помню, то сам интеграл напрямую в элементарных функциях не выражается. Формулу просто преобразуют к выражению, содержащему стандартный интеграл ошибок [math]erf(x)[/math], а дальше трюк в том, что в нуле и в бесконечности значения стандартного интеграла ошибок известны (нуль и единица). Так что интеграл сдаётся без боя.


Действительно, его можно привести к функции ошибок! Я вчера это замечал, но почему то не подумал о том, что ее значения в пределах известны (наверное уже было поздно :) ). Спасибо огромное за помощь! :beer:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/