| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=49532 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | jagdish [ 23 июн 2016, 12:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
[math]\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 x}{a^2-2ab\cos x+b^2}dx, a,b>0[/math] |
|
| Автор: | God_mode_2016 [ 24 июн 2016, 07:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
jagdish писал(а): [math]\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 x}{a^2-2ab\cos x+b^2}dx, a,b>0[/math] интересный пример |
|
| Автор: | searcher [ 24 июн 2016, 08:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
God_mode_2016 писал(а): интересный пример Конечно. Если вы на первом курсе учитесь, можете попробовать универсальную тригонометрическую подстановку: тангенс половинного угла. Топик-стартеру можно посоветовать подстановку [math]t=e^{ix}[/math] и свести наш интеграл к интегралу по единичной окружности в [math]C[/math]. (Тут ещё может помочь, что функция симметрична относительно [math]\pi[/math]. Можно считать интеграл от [math]0[/math] до [math]2\pi[/math] и поделить пополам.) Дальше применить вычеты. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 24 июн 2016, 16:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
У меня получилось так ![]()
|
|
| Автор: | Hans Fuller [ 25 июн 2016, 00:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
jagdish, рассмотрите мнимую часть геометрической прогрессии с членом [math]\rho^k \exp(ikx).[/math] Выход на ваш интеграл после этого очевиден и производится в два шага. |
|
| Автор: | Li6-D [ 25 июн 2016, 09:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
У меня получился необычный результат - интеграл не зависит от меньшего параметра: [math]\int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}dx = \frac{\pi}{{2{a^2}}},\quad a \geqslant b > 0[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 25 июн 2016, 10:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Если принять a=2 и b=3 то http://www.wolframalpha.com/input/?i=Int(sin%5E2(x)%2F(4-2*6*cos(x)%2B9),x%3D0..pi) Вот проверьте свои формулы У меня более неожиданный результат [math]\frac{\pi}{2\cdot [max(a , b)]^2}[/math] |
|
| Автор: | jagdish [ 29 июл 2016, 13:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
I have tried Like this way:: Using the formula [math]a^2+b^2-ab\cos C = c^2\;,[/math] Now If [math]C\leftrightarrow x\;,[/math] Then [math]a^2+b^2-2ab\cos x= c^2[/math] So Integral Convert into [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 C}{c^2}dC\;,[/math] Now Using Sin formula [math]\displaystyle \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a}.[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dC\;,[/math] Now [math]A+B+C = \pi\;,[/math] Then [math]dC = 0-dA-dB[/math] Now when [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow \pi[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math] When [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow 0[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{\pi}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dA)+\int_{0}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dB)[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dA = \frac{2}{2a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[1-\cos 2A\right]dA = \frac{\pi}{2a^2}[/math] |
|
| Автор: | Li6-D [ 31 июл 2016, 16:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Замечательный способ использовать геометрию треугольника и теорему синусов для нахождения интегралов вида [math]\int\limits_0^\pi{F\left({\frac{{\sin x}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}}\right)}dx[/math]! Насколько понял, были рассмотрены треугольники с фиксированными длинами сторон a>b и углом С ними, меняющимся от 0 до 180°. Например, довольно легко получить такой интеграл, который зависит только от меньшего параметра: [math]\int\limits_0^\pi{\frac{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}+ ab\sin x}}}dx = \frac{{2\arccos \left( b \right)}}{{\sqrt{1 -{b^2}}}},\;\;a \geqslant b \geqslant 0;\;b < 1.[/math] Попробуйте проверить эту формулу вольфрамом. ▼ Я находил интеграл ТС намного сложнее:
|
|
| Автор: | Hans Fuller [ 01 авг 2016, 23:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
[math]\sum p^k \sin kx = \Im \frac{1}{1-p \exp(ikx)} =\frac{p \sin x}{1-2p \cos x + p^2}, \, p^2<1.[/math] Отсюда, с использованием свойства ортогональности системы тригонометрических функций: [math]\int \limits_0^\pi \frac{\sin x \sin nx dx}{1-2p \cos x + p^2}=\sum p^{k-1} \int \limits_0^\pi \sin kx \sin nx dx = \frac{\pi}{2} p^{n-1}.[/math] Полагая [math]n=1, \, p=\frac{b}{a}[/math] при [math]b<a[/math], получим искомый результат. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|