Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=48517
Страница 2 из 3

Автор:  Andy [ 01 май 2016, 19:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few
Я прошу меня извинить, но я вынужден выйти из форума из-за приступа мигрени. :cry:

Автор:  few [ 01 май 2016, 22:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Yurik писал(а):
Вот есть такой калькулятор, который говорит, что интеграл сходится.
Изображение


Спасибо! Не подскажете, если вы вводите данные вот сюда: matematikam.ru/calculate-online/definite-integral.php - вы получаете ответ?

Автор:  venjar [ 01 май 2016, 23:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few писал(а):
1-cos(x)~(x^2)/2 и (x^5+x^7)^(1/2)~x^(5/2) при x стремится к нулю. Эквивалентный интеграл от [math]\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}[/math] сходится.

Верно

Автор:  few [ 01 май 2016, 23:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Проверил еще раз, численного значения Wolfram Alpha не дает (вообще никакого результата); именно это ввело в замешательство.

Автор:  Yurik [ 02 май 2016, 09:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few писал(а):
Не подскажете, если вы вводите данные вот сюда: matematikam.ru/calculate-online/definite-integral.php - вы получаете ответ?

Нет. Но если я введу INT 1/x dx from 0 to 1, то появится подпись - Integral does not converge.

Автор:  Andy [ 02 май 2016, 15:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Итак, при помощи онлайн-калькулятора установили, что заданный интеграл всё-таки сходится. Теперь нужно "подогнать аналитическое решение под известный результат". :cry: Предлагаю следующий шаг вперёд.

Используя функцию "интегральный синус" :crazy:, можно установить, что интеграл
[math]\int\limits_0^1 \frac{1-\cos x}{x^2}\operatorname{d}x=\operatorname{Si} 1-1+\cos 1 \approx 0,4864[/math]

сходится. При этом
[math]\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{1-\cos x}{\sqrt{x^5+x^7}}}=\lim\limits_{x \to o} \sqrt{x} \sqrt{1+x^2}=0,[/math]

значит, и интеграл
[math]\int\limits_0^1 \frac{1-\cos x}{\sqrt{x^5+x^7}}\operatorname{d}x[/math]

сходится (если для интегралов от разрывных функций есть утверждение, аналогичное этому:
Изображение)


Надеюсь, не сильно ошибся. Возможно, есть более простой путь к решению, но мне он недоступен.

Интересно посмотреть на учебник и сборник задач, где рассматриваются подобные интегралы и способы их нахождения. Кто может подсказать подходящую ссылку?

Автор:  few [ 02 май 2016, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Более простой способ очевиден.
few писал(а):
1-cos(x)~(x^2)/2 и (x^5+x^7)^(1/2)~x^(5/2) при x стремится к нулю. Эквивалентный интеграл от [math]\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}[/math] сходится.


Вопрос возник вследствие того, что Wolfram Alpha не может вычислить данный интеграл численно: www .wolframalpha.com/input/?i=integrate+((1-cos(x))%2F(x%5E5%2Bx%5E7)%5E(1%2F2))+from+x%3D0+to+1
Был лучшего мнения об этой программе.

P.S. Скопируйте ссылку в браузерную строку и удалите пробел в начале.

Автор:  Andy [ 02 май 2016, 15:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few писал(а):
Более простой способ очевиден.
few писал(а):
1-cos(x)~(x^2)/2 и (x^5+x^7)^(1/2)~x^(5/2) при x стремится к нулю. Эквивалентный интеграл от [math]\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}[/math] сходится.


Действительно, на том же основании. Вчера об этом помнил. Сегодня уже забыл... :o

few писал(а):
Вопрос возник вследствие того, что Wolfram Alpha не может вычислить данный интеграл численно: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +((1-cos(x))%2F(x%5E5%2Bx%5E7)%5E(1%2F2))+from+x%3D0+to+1 Был лучшего мнения об этой программе.

Думаю, может. Только на платной основе. Если не ошибаюсь, первообразную заданной подынтегральной функции показывают не все калькуляторы.
После вчерашнего приступа головной боли я с трудом прихожу в себя.

Автор:  Andy [ 02 май 2016, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few, а откуда Вы взяли это задание?

Автор:  few [ 02 май 2016, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Andy писал(а):
few, а откуда Вы взяли это задание?

Из вуза. В самом задании ничего интересного нет.

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/