Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=48517
Страница 1 из 3

Автор:  few [ 01 май 2016, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость

[math]\int_{0}^{1}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5+x^7}} dx[/math]
Сходится или нет? Пожалуйста, подскажите.

Автор:  Andy [ 01 май 2016, 17:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

С помощью онлайн-калькулятора на этом ресурсе, можно убедиться, что значение первообразной при стремлении к нижнему пределу равно бесконечности. Для этого в окошке нужно поместить текст
lim_(x to 0) (1-cos(x))/(sqrt(x^5+x^7))

и нажать кнопку "Получить ответ".
Думаю, что из этого следует вывод: интеграл расходится.

Автор:  few [ 01 май 2016, 17:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Но вы устремили к нулю значение исходной функции.

Автор:  Andy [ 01 май 2016, 17:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few, да... Прошу извинить! :oops:

Интегрируя "в нуле" выражение в последней строке предлагаемого там решения, по-видимому, придём к выводу, что интеграл сходится.

Автор:  Andy [ 01 май 2016, 17:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

few, наверное, нужно сравнить данный интеграл с интегралом [math]\int_0^1 \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\operatorname{d}x.[/math]

Автор:  searcher [ 01 май 2016, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Andy писал(а):
few, наверное, нужно сравнить данный интеграл с интегралом [math]\int_0^1 \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\operatorname{d}x.[/math]

А куда [math]x^2[/math] из числителя пропал?

Автор:  Andy [ 01 май 2016, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

searcher, а в числителе не было [math]x^2.[/math]

Автор:  few [ 01 май 2016, 18:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

1-cos(x)~(x^2)/2 и (x^5+x^7)^(1/2)~x^(5/2) при x стремится к нулю. Эквивалентный интеграл от [math]\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}[/math] сходится. С другой стороны, если ввести данный пример в тот же Wolfram Alpha, например, на сайте matematikam.ru, ответа не будет. Это вроде как реакция на расходимость. Вопрос возник из-за этого.

Автор:  Yurik [ 01 май 2016, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Вот есть такой калькулятор, который говорит, что интеграл сходится.
Изображение

Автор:  Yurik [ 01 май 2016, 19:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Да, если интеграл расходится, Вольфрам пишет Integral does not converge.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/