Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=48026
Страница 1 из 1

Автор:  semenb96 [ 04 апр 2016, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенный интеграл

Помогите решить пожалуйста


1)[math]\int \left( 3+sin2x \right)\cos^2{x}dx[/math]

2)[math]\int \frac{ dx }{5-3cosx }[/math]

3)[math]\int \operatorname{tg}^5{\frac{ x }{ 2 }dx }[/math]

4)[math]\int \frac{ dx }{ 1+3sin^2x }[/math]

5)[math]\int \frac{ e^{3x}+e^x }{ e^{4x}-e^{2x}+1 }dx[/math]

Автор:  Avgust [ 04 апр 2016, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

1) Проще всего взять интеграл если подинтегральное выражение развернуть так:

[math]\frac 32+\frac 32 \cos(2x)-\frac 14 \sin(4x)-\frac 12 \sin(2x)[/math]

2) Универсальная тригонометрическая подстановка [math]t=tg\left (\frac x2 \right )[/math]

[math]\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

[math]dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}[/math]

Внимательно подставляете, упрощаете и интеграл сведется к табличному. Потом - обратная замена

[math]t=arctg\left (\frac x2 \right )[/math]

4) =[math]\int \frac{dx}{1+3 tg^2(x) cos^2(x)}=\int \frac {d [tg(x)]}{\frac{1}{cos^2(x)}+3 tg^2(x)}[/math]

Учитывая, что [math]\frac{1}{cos^2(x)}=1+tg^2(x)[/math]

легко прийдете к табличному интегралу

[math]\int \frac{d[tg(x)]}{1+4 tg^2(x)}[/math]

Автор:  semenb96 [ 05 апр 2016, 05:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

А с 5 как?

Автор:  Avgust [ 05 апр 2016, 17:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

С 5) так. [math]u=e^x[/math]

Тогда [math]du=e^x\,dx[/math] и придется брать интеграл

[math]\int \frac{u^2+1}{u^4-u^2+1}\, du[/math]

Автор:  Avgust [ 05 апр 2016, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

5) Брать такой интеграл - довольно долго. Я часто пользуюсь таблицей производных, которую составил сам специально для облегчения интегральных проблем. В частности, в моей книге под номерами 1806-1808 написано:

[math]1806. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \right ]'=\frac{1-x^2}{x^4+3x^2+1}[/math]

[math]1807. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{1-x^2} \right ) \right ]'=\frac{1+x^2}{x^4-x^2+1}[/math]

[math]1808. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{x^2-1} \right ) \right ]'=-\frac{1+x^2}{x^4-x^2+1}[/math]

Как видим, Ваш случай - это 1807

Ответ Вы знаете, наверное теперь проще догадаться о методе нахождения интеграла.

Автор:  pewpimkin [ 06 апр 2016, 15:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/