| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Неопределенный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=48026 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | semenb96 [ 04 апр 2016, 20:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Неопределенный интеграл |
Помогите решить пожалуйста 1)[math]\int \left( 3+sin2x \right)\cos^2{x}dx[/math] 2)[math]\int \frac{ dx }{5-3cosx }[/math] 3)[math]\int \operatorname{tg}^5{\frac{ x }{ 2 }dx }[/math] 4)[math]\int \frac{ dx }{ 1+3sin^2x }[/math] 5)[math]\int \frac{ e^{3x}+e^x }{ e^{4x}-e^{2x}+1 }dx[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 04 апр 2016, 22:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
1) Проще всего взять интеграл если подинтегральное выражение развернуть так: [math]\frac 32+\frac 32 \cos(2x)-\frac 14 \sin(4x)-\frac 12 \sin(2x)[/math] 2) Универсальная тригонометрическая подстановка [math]t=tg\left (\frac x2 \right )[/math] [math]\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math] [math]dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}[/math] Внимательно подставляете, упрощаете и интеграл сведется к табличному. Потом - обратная замена [math]t=arctg\left (\frac x2 \right )[/math] 4) =[math]\int \frac{dx}{1+3 tg^2(x) cos^2(x)}=\int \frac {d [tg(x)]}{\frac{1}{cos^2(x)}+3 tg^2(x)}[/math] Учитывая, что [math]\frac{1}{cos^2(x)}=1+tg^2(x)[/math] легко прийдете к табличному интегралу [math]\int \frac{d[tg(x)]}{1+4 tg^2(x)}[/math] |
|
| Автор: | semenb96 [ 05 апр 2016, 05:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
А с 5 как? |
|
| Автор: | Avgust [ 05 апр 2016, 17:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
С 5) так. [math]u=e^x[/math] Тогда [math]du=e^x\,dx[/math] и придется брать интеграл [math]\int \frac{u^2+1}{u^4-u^2+1}\, du[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 05 апр 2016, 18:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
5) Брать такой интеграл - довольно долго. Я часто пользуюсь таблицей производных, которую составил сам специально для облегчения интегральных проблем. В частности, в моей книге под номерами 1806-1808 написано: [math]1806. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \right ]'=\frac{1-x^2}{x^4+3x^2+1}[/math] [math]1807. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{1-x^2} \right ) \right ]'=\frac{1+x^2}{x^4-x^2+1}[/math] [math]1808. \qquad \left [\operatorname{arctg}\left (\frac{x}{x^2-1} \right ) \right ]'=-\frac{1+x^2}{x^4-x^2+1}[/math] Как видим, Ваш случай - это 1807 Ответ Вы знаете, наверное теперь проще догадаться о методе нахождения интеграла. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 06 апр 2016, 15:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|