Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=47539
Страница 1 из 1

Автор:  mayer [ 07 мар 2016, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить интеграл

[math]\int x\operatorname{arctg}^{2}xdx[/math]

Автор:  Li6-D [ 07 мар 2016, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

После замены [math]x = tg\,y[/math] получим:

[math]\int{tg\,y \cdot{y^2}}\cdot \frac{1}{{{{\cos}^2}y}}\cdot dy = \frac{1}{2}\int{{y^2}}\cdot d\frac{1}{{{{\cos}^2}y}}= \frac{{{y^2}}}{{2 \cdot{{\cos}^2}y}}- \int{\frac{{y \cdot dy}}{{{{\cos}^2}y}}}= \frac{{{y^2}}}{{2 \cdot{{\cos}^2}y}}- \int{y \cdot dy}-{\int{y \cdot tg}^2}y \cdot dy[/math]

Для нахождения последнего интеграла можно воспользоваться очень похожим примером.

Автор:  Li6-D [ 08 мар 2016, 01:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

Или так: [math]\ldots = \frac{1}{2}\int{arct}{g^2}xd{x^2}= \frac{{{x^2}}}{2}arct{g^2}x - \int{\frac{{{x^2}}}{{1 +{x^2}}}arctgx \cdot}dx[/math], где:

[math]\int{\frac{{{x^2}}}{{1 +{x^2}}}arctgx \cdot}dx = \int{arctgx \cdot}dx - \int{\frac{{arctgx}}{{1 +{x^2}}}\cdot dx}= \left({x \cdot arctgx - \int{\frac{{x \cdot dx}}{{1 +{x^2}}}}}\right) - \frac{1}{2}arct{g^2}x =[/math].

[math]= x \cdot arctgx - \frac{1}{2}\ln \left({1 +{x^2}}\right) - \frac{1}{2}arct{g^2}x+C[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/