Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=466
Страница 1 из 2

Автор:  Jelena1988 [ 22 апр 2010, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Как найти этот интеграл от произведения квадрата синуса и куба косинуса

[math]\int\sin^2{x}\cos^3{x}\,dx[/math]

Помогите, пожалуйста, не получается :-(

Автор:  Alexdemath [ 22 апр 2010, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Jelena1988 писал(а):
Как найти этот интеграл от произведения квадрата синуса и куба косинуса

[math]\int\sin^2{x}\cos^3{x}\,dx[/math]

Помогите, пожалуйста, не получается :-(

Представьте куб косинуса как произведение косинуса и единицы минус квадрат синуса, затем занесите косинус под знак дифференциала:

[math]\int\sin^2{x}\cos^3{x}\,dx=\int\sin^2{x}(1-\sin^2{x})\cos{x}\,dx=[/math]

[math]=\int(\sin^2{x}-\sin^4{x})d(\sin{x})=\frac{1}{3}\sin^3{x}-\frac{1}{5}\sin^5{x}+C.[/math]

Надеюсь, это понятно.

Автор:  innar [ 21 дек 2011, 12:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Как найти этот интеграл int от 0 до пи/2 [sin^2(x)*cos^4(x)]dx?

Автор:  Alexdemath [ 21 дек 2011, 19:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

innar, нужно преобразовывать подынтегральную функцию. Например, таким образом

[math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\pi/2}&\sin^2x\cos^4x\,dx= \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi/2}(2\sin x\cos x)^2\cos^2x\,dx= \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2}\sin^22x\frac{1+\cos2x}{2}\,dx=\\[5pt] &=\frac{1}{8}\int\limits_0^{\pi/2}\!\left(\sin^22x+\sin^22x\cos 2x\right)\!dx= \frac{1}{8}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {\frac{1 - \cos 4x}{2}+\sin^22x\cos 2x\right)\!dx=\\[5pt] &=\frac{1}{16}\int\limits_0^{\pi/2}(1 - \cos 4x)\,dx+ \frac{1}{16}\int\limits_0^{\pi /2}\sin^22x\,d(\sin 2x)= \left.{\frac{1}{16}\!\left(x - \frac{1}{4}\sin 4x + \frac{1}{3}\sin^32x\right)}\right|_0^{\pi/2}=\\[5pt] &=\frac{1}{16}\!\left[\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \left(0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0} \right)\right]= \frac{1}{16}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{\pi }{32}\end{aligned}[/math]

Автор:  innar [ 22 дек 2011, 08:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Спасибо!!!

Автор:  innar [ 17 янв 2012, 09:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

как найти неопределенный интеграл int[(х-2)*cos(2x)]dx, только не через дифференциал, а через замену переменной или интегрирование по частям

Автор:  Yurik [ 17 янв 2012, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

[math]\begin{gathered} \int_{}^{} {\left( {x - 2} \right)\cos 2xdx} = \left| \begin{gathered} u = x - 2\,\, = > \,\,du = dx \hfill \\ dv = \cos 2xdx\,\, = > \,\,v = \frac{{\sin 2x}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{{\left( {x - 2} \right)\sin 2x}}{2} - \frac{1}{2}\int_{}^{} {\sin 2xdx} = \hfill \\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\sin 2x}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{4} + C = \frac{1}{4}\left( {2\left( {x - 2} \right)\sin 2x + \cos 2x} \right) + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  innar [ 17 янв 2012, 10:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

V = sin2x/2 это интеграл от cos2x dx?

Автор:  Yurik [ 17 янв 2012, 10:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Да, правильно мыслите.

Автор:  milashkaya [ 17 янв 2012, 10:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как найти этот интеграл int[sin^2(x)*cos^3(x)]dx?

Помогите пожалуйста с решениеИзображение

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/