| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Составление определенного интеграла (помогите решить) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=4620 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | Prokop [ 01 дек 2012, 10:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Составление определенного интеграла (помогите решить) |
Нарисуйте, пожалуйста, новый график с нужными углами. |
|
| Автор: | Prokop [ 02 дек 2012, 09:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Составление определенного интеграла (помогите решить) |
Немного странные у Вас обозначения отрицательных величин. Буду использовать Ваши обозначения. Разобьём интервал интегрирования на 4 участка. 1. Интервал [math]\left( { - y_4 , - y_3 } \right)[/math]. Здесь [math]x\left( y \right) = - x_3 - \operatorname{tg} \gamma \cdot \left( {y + y_3 } \right) = \left( { - x_3 - \operatorname{tg} \gamma \cdot y_3 } \right) - \operatorname{tg} \gamma \cdot y[/math] Интеграл по этому промежутку [math]\begin{gathered} I_1 = \int\limits_{ - y_4 }^{ - y_3 } {y \cdot x\left( y \right)dy} = \int\limits_{ - y_4 }^{ - y_3 } {y \cdot \left( {\left( { - x_3 - \operatorname{tg} \gamma \cdot y_3 } \right) - \operatorname{tg} \gamma \cdot y} \right)dy} = \left. {\left( {\left( { - x_3 - \operatorname{tg} \gamma \cdot y_3 } \right)\frac{{y^2 }}{2} - \operatorname{tg} \gamma \frac{{y^3 }}{3}} \right)} \right|_{ - y_4 }^{ - y_3 } = \hfill \\ = - \left( {x_3 + \operatorname{tg} \gamma \cdot y_3 } \right)\frac{{y_3 ^2 - y_4 ^2 }} {2}\operatorname{tg} \gamma \frac{{y_4 ^3 - y_3 ^3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Значение [math]x_3[/math] будет найдено в следующем пункте. 2. Интервал [math]\left( { - y_3 ,0} \right)[/math]. Здесь [math]x\left( y \right) = - \operatorname{tg} \phi \cdot y[/math] Отсюда выводим [math]x_3 = - \operatorname{tg} \phi \cdot y[/math] (напоминаю, что я использую Ваши обозначения). Интеграл по этому промежутку [math]I_2 = \int\limits_{ - y_3 }^0 {y \cdot x\left( y \right)dy} = - \int\limits_{ - y_3 }^0 {y \cdot \operatorname{tg} \phi \cdot ydy} = \left. { - \operatorname{tg} \phi \frac{{y^3 }}{3}} \right|_{ - y_3 }^0 = - \operatorname{tg} \phi \frac{{y_3 ^3 }}{3}[/math] 3. Интервал [math]\left( {0,y_1 } \right)[/math]. Здесь [math]x\left( y \right) = \operatorname{tg} \alpha \cdot y[/math] Сразу отметим равенство [math]x_1 = \operatorname{tg} \alpha \cdot y_1[/math] Интеграл по этому промежутку [math]I_3 = \int\limits_0^{y_1 } {y \cdot x\left( y \right)dy} = \int\limits_0^{y_1 } {y \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot ydy} =\left. {\operatorname{tg} \alpha \frac{{y^3 }}{3}} \right|_0^{y_1 } =\operatorname{tg} \alpha \frac{{y_1 ^3 }}{3}[/math] 4. Интервал [math]\left( {y_1 ,y_2 } \right)[/math]. Здесь [math]x\left( y \right) = x_1 + \operatorname{tg} \beta \cdot \left( {y - y_1 } \right) = \left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 }\right) + \operatorname{tg} \beta \cdot y[/math] Интеграл по этому промежутку [math]\begin{gathered} I_4 = \int\limits_{y_1 }^{y_2 } {y \cdot x\left( y \right)dy} = \int\limits_{y_1 }^{y_2 } {y \cdot \left( {\left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 } \right) + \operatorname{tg} \beta \cdot y} \right)dy} = \left. {\left( {\left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 } \right)\frac{{y^2 }}{2} + \operatorname{tg} \beta \frac{{y^3 }}{3}} \right)} \right|_{y_1 }^{y_2 } = \hfill \\ = \left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 } \right)\frac{{y_2 ^2 - y_1 ^2 }}{2} + \operatorname{tg} \beta \frac{{y_2 ^3 - y_1 ^3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Значение [math]x_1[/math] найдено в предыдущем пункте. Окончательный ответ получим, сложив все интегралы [math]I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4[/math] |
|
| Автор: | Ingener [ 05 дек 2012, 08:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Составление определенного интеграла (помогите решить) |
Спасибо за решение. Кстати, вы уместное замечание сделали по поводу обозначений на графике со знаком минус. Минус лучше убрать. А вы можете упростить этот интеграл, сложив их сумму? |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|