Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Составление определенного интеграла (помогите решить)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=4620
Страница 1 из 2

Автор:  Ingener [ 24 мар 2011, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Составление определенного интеграла (помогите решить)

Здравствуйте. Столкнулся с проблемой. Имеется график зависимости в виде двух прямых линий. углы между ними известны. Также имеется интеграл, в котором b - константа, остальные переменные величины. Необходимо рассчитать и выразить интеграл через величины c, x1, b, угол альфа и угол бетта.

Вложения:
2.JPG
2.JPG [ 210.38 Кб | Просмотров: 55 ]

Автор:  Ingener [ 27 мар 2011, 01:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

никто не знает как решать?Даже идей нет???

Автор:  mad_math [ 27 мар 2011, 02:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

мне, например, не понятно какие именно линии на рисунке определяют данную зависимость. интересно так же было бы узнать, какая задача привела к этому интегралу?

Автор:  Ingener [ 27 мар 2011, 13:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Здесь зависимость не определена, вот она функция x(y) стоит под интегралом, её нужно на базе исходного графика составить и подставить под интеграл, что бы получить окончательно подынтегральную функцию, а потом уже посчитать сам интеграл. Величины yb остаются под знаком интеграла, из них b - константа, y - переменная. Вверху графика 2 линии. Внизу также две - они симметричны верхним двум.

Автор:  Prokop [ 27 мар 2011, 14:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Какая связь между[math]c[/math], [math]y_1[/math], [math]y_2[/math]?

Автор:  Ingener [ 27 мар 2011, 14:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Prokop писал(а):
Какая связь между[math]c[/math], [math]y_1[/math], [math]y_2[/math]?

С - это константа, она равна 2y2. Параметры x1, x2, y2 и y1 связаны между собой линейным графиком, представленным на рисунке. Нужно в общем виде решить.

Автор:  Prokop [ 27 мар 2011, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Дано: [math]\alpha ,\beta ,x_1 ,x_2 , b.[/math]
Кроме того, [math]c = 2y_2[/math]
Требуется вычислить интеграл [math]M = b\int\limits_{-c/2}^{c/2}y\cdot x (y)\,dy[/math]

Сначала, с помощью чертежа найдём [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math]

[math]\begin{align} y_1&=\frac{x_1}{\operatorname{tg}\alpha}\\[2pt] y_2&=\frac{x_1}{\operatorname{tg}\alpha}+\frac{x_2-x_1}{\operatorname{tg}\beta} \end{align}[/math]

Далее, на первом участке [math][0,y_1][/math]имеем [math]x(y)=\operatorname{tg}\alpha \cdot y[/math], на втором участке [math][y_1,y_2][/math] имеем [math]x(y)=x_1+\operatorname{tg}\beta\,(y-y_1)[/math]. В силу чётности подынтегральной функции интеграл можно записать по половине промежутка, предварительно умножив на 2.

[math]M = 2b\int\limits_0^{y_1}y\cdot\operatorname{tg}\alpha\cdot y\,dy+2b\int\limits_{y_1}^{y_2}y\cdot\left(x_1+\operatorname{tg} \beta\,(y-y_1)\right)dy[/math]

В результате получим [math]M = 2b\left[\frac{1}{3}\operatorname{tg}\alpha\cdot y_1 ^3 +\left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 } \right)\frac{y_2^2-y_1^2}{2}+\operatorname{tg}\beta\,\frac{y_2^3-y_1^3}{3}\right][/math]

Сюда надо подставить [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] (значения указаны выше). Конечно, ответ можно слегка упростить, но не принципиально.

Автор:  Ingener [ 28 мар 2011, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Prokop РЕСПЕКТ! Вы меня реально удивили. Мое удивление связано не только с тем, как вы составили и вычислили интеграл, а с тем как вы догадались, что здесь представлено интегрирование моментов по сечению, не зря записали "М=...". Видимо вы хорошо знаете сопромат и поэтому догадались.

Автор:  Ingener [ 29 ноя 2012, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Prokop писал(а):
Дано: [math]\alpha ,\beta ,x_1 ,x_2 , b.[/math]
Кроме того, [math]c = 2y_2[/math]
Требуется вычислить интеграл [math]M = b\int\limits_{-c|2}^{c|2}y\cdot x (y)\,dy[/math]

В результате получим [math]M = 2b\left[\frac{1}{3}\operatorname{tg}\alpha\cdot y_1 ^3 +\left( {x_1 - \operatorname{tg} \beta \cdot y_1 } \right)\frac{y_2^2-y_1^2}{2}+\operatorname{tg}\beta\,\frac{y_2^3-y_1^3}{3}\right][/math]

Сюда надо подставить [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] (значения указаны выше). Конечно, ответ можно слегка упростить, но не принципиально.

Здравствуйте. Вот недавно начал проверять этот интеграл и оказалось, что подставив в него значения из сопромата момент равен 0,007482 Н*мм, чего не может быть, проверьте пожалуйста, возможно в интеграле ошибка.
Представим, что вертикальная ось - это деформации e, а горизонтальная ось - это напряжения сигма.
Проверьте пожалуйста, не ошиблись ли вы с интегралом. Вот исходные данные (на рисунке я заменил все X и Y на деформации и напряжения):

Вложения:
.jpg
.jpg [ 89.16 Кб | Просмотров: 31 ]

Автор:  Ingener [ 30 ноя 2012, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составление определенного интеграла (помогите решить)

Вопрос снимаю. Оказывается при подстановке физических величин нужно учитывать коэффициент масштабирования, в зависимости от которого будут изменяться и углы альфа и бетта. Сейчас спустя 2 дня разборов я проверил и действительно этот интеграл работает.
Prokop, а вы не могли бы убрать кратность интеграла и учесть ещё углы в нижней части графика, эти углы, а также Y1 и Y2 могут отличаться. Я правильно понимаю, что если убрать 2 из интеграла, то эту скобку можно просуммировать, подставив в неё уже другие углы, X, Y ?Верно?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/