Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить неопредённый интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=45900
Страница 1 из 1

Автор:  archieee [ 17 дек 2015, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить неопредённый интеграл

Что-то ввело меня в ступор, первый раз увидел такое, пытался найти в интернете, не нашел, буду рад помощи

[math]\int{\frac{{dx}}{{x{{\left({{x^2}+ 1}\right)}^2}}}}dx[/math]

Автор:  Andy [ 17 дек 2015, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

По-моему, сначала нужно разложить дробь [math]\frac{1}{x\left(x^2+1\right)^2}[/math] на простейшие.

Автор:  erjoma [ 17 дек 2015, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

[math]\begin{array}{l}\int {\frac{{dx}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}{{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}}}} = \left( \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{{x^2}}}\\dy = - \frac{{2dx}}{{{x^3}}}\end{array} \right) = - \frac{1}{2}\int {\frac{{ydy}}{{{{\left( {1 + y} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 + y}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + y} \right)}^2}}}} \right)dy} = \\ = - \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {1 + y} \right) + \frac{1}{{1 + y}}} \right) + C = - \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}} \right) + C\end{array}[/math]

Автор:  archieee [ 17 дек 2015, 21:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

erjoma писал(а):
[math]\begin{array}{l}\int {\frac{{dx}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}{{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}}}} = \left( \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{{x^2}}}\\dy = - \frac{{2dx}}{{{x^3}}}\end{array} \right) = - \frac{1}{2}\int {\frac{{ydy}}{{{{\left( {1 + y} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 + y}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + y} \right)}^2}}}} \right)dy} = \\ = - \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {1 + y} \right) + \frac{1}{{1 + y}}} \right) + C = - \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}} \right) + C\end{array}[/math]

на второе dx можно забить?

Автор:  pewpimkin [ 17 дек 2015, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

На какое второе?

Автор:  archieee [ 17 дек 2015, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

pewpimkin писал(а):
На какое второе?

Изображение

Автор:  pewpimkin [ 17 дек 2015, 22:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопредённый интеграл

Это описка. Там только одно( или один) dx должен быть

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/