Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определённый интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=42469
Страница 1 из 1

Автор:  DmitriyEf [ 02 июл 2015, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Определённый интеграл

Помогите решить, пожалуйста. Дайте хоть какие-то идеи.

[math]\int_1^2 \frac{\sqrt{x-1}}{ln(x)} dx[/math]

Автор:  lemmanime [ 02 июл 2015, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

А не доказать сходимость нужно?

Автор:  DmitriyEf [ 02 июл 2015, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Да. Сходимость. Но когда я доказываю непосредственно сходимость, то получается, что он расходится. А по ответу он сходится. wolframalpha показывает, что предел у интеграла существует. Ну и я решил, что надо в лоб его высчитать каким-то способом

Автор:  michel [ 02 июл 2015, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Выполним замену переменной [math]x \to x+1[/math]. Тогда исходный интеграл будет равен [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{ ln(x+1) }[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x)=\frac{ ln(x+1) }{ x }[/math] на промежутке [0;1]: она монотонно убывает от 1 до [math]minf=\frac{ ln3 }{ 2 } \approx 0,55[/math]. Теперь исходный интеграл можно оценить сверху: [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{xf(x) }<\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{ x\cdot minf }=\frac{ 2 }{ ln3 } \int\limits_{0}^{1}\frac{ dx }{ \sqrt{x} }=\frac{ 4 }{ ln3 }[/math]. Значит, исходный интеграл сходится и будет меньше [math]\frac{ 4 }{ ln3 }[/math]. Численный расчет для исходного интеграла дает величину 2,308.

Автор:  DmitriyEf [ 02 июл 2015, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Спасибо большое, что откликнулись. Но не могли бы вы пояснить одну вещь: как минимум функции [math]f(x)[/math] получается равен [math]\frac{ln(3)}{2}[/math]. Получается [math]x=2[/math], а рассматриваем на промежутке [0;1], куда 2 не входит.

Автор:  lemmanime [ 02 июл 2015, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Была сделана замена

Автор:  michel [ 02 июл 2015, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Да, Вы правильно заметили (забыл, что перешел к новому промежутку [0;1]), правильно [math]minf=ln2[/math], тогда оценку интеграла сверху подправляем [math]\frac{ 2 }{ ln2 } \approx 2.885[/math]. Она будет теперь гораздо ближе к точному значению интеграла!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/