Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=41640
Страница 1 из 1

Автор:  Alina55577 [ 30 май 2015, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

Помогите пожалуйста!! Решить неопределенный интеграл:
xln(x^2 +1)dx

Автор:  Andy [ 31 май 2015, 00:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

[math]\int x\ln{\left(x^2+1\right)}\operatorname{d}x=\frac{1}{2}\int 2x\ln\left(x^2+1\right)\operatorname{d}x=\frac{1}{2}\int \ln\left(x^2+1\right)\operatorname{d}\left(x^2+1\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\ln\left(x^2+1\right)-\int\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\operatorname{d}\left(\ln\left(x^2+1\right)\right)\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\ln\left(x^2+1\right)-\int\frac{2x\left(\frac{x^3}{3}+x\right)}{x^2+1}\operatorname{d}x\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\ln\left(x^2+1\right)-\frac{2}{3}\int\frac{x^4+3x^2}{x^2+1}\operatorname{d}x\right)\right)=...[/math]

Автор:  lemmanime [ 31 май 2015, 00:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Замена: [math]t=x^{2}+1; \ dt=2xdx; \ dx=\frac{dt}{2x}[/math]

[math]I=\int x\ln{t} \cdot \frac{dt}{2x} =\frac{1}{2} \int \ln{t}dt[/math]


интегрируем по частям: [math]u=\ln{t}; \ du=\frac{dt}{t}; \ \ dv=dt; \ v=t[/math]

[math]I=\frac{1}{2} (t \cdot \ln{t} - \int \frac{dt}{t}\cdot t)= \frac{1}{2} (t \cdot \ln{t}-t})=\frac{1}{2} ((x^{2}+1) \cdot \ln{(x^{2}+1)} - (x^{2}+1))+C=\frac{1}{2}(x^{2}+1) \cdot (\ln{(x^{2}+1)}-1)+C[/math]

Автор:  Alina55577 [ 31 май 2015, 00:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Спасибо большое)))))

Автор:  mad_math [ 31 май 2015, 01:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

А можно было сразу брать по частям без подведения под знак дифференциала и замены:
[math]u=\ln(x^2+1),\,dv=xdx\Rightarrow du=\frac{2xdx}{x^2+1},\,v=\frac{x^2}{2}[/math]

[math]\int x\ln(x^2+1)dx=\frac{x^2\ln(x^2+1)}{2}-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{2xdx}{x^2+1}=\frac{x^2\ln(x^2+1)}{2}-\int\frac{x^3dx}{x^2+1}=...[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/