Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=41582
Страница 1 из 1

Автор:  Alinchik [ 28 май 2015, 20:43 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить интеграл

Вычислить интеграл [math]\int_{0}^{+\infty} \frac{cos(bx)}{{a}^{4}+{x}^{4}}dx[/math]
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

Автор:  Prokop [ 29 май 2015, 10:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл

Если нельзя пользоваться вычетами, то придётся хитрить.
В силу чётности функций, можно считать параметры положительными.
Выполним замену переменной [math]x = at[/math]. Тогда
[math]I\left({a,b}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos bx}}{{{a^4}+{x^4}}}dx}={a^{- 3}}\int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({abt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}={a^{- 3}}J\left({ab}\right)[/math]
где
[math]J\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Теперь будем дифференцировать по параметру [math]y \geqslant 0[/math] (это возможно согласно теореме о дифференцировании по параметру)
[math]J'\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{t\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math],
[math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math],
[math]J'''\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^3}\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Для дальнейшего нам надо вычислить ещё одну производную, однако формальное дифференцирование здесь не оправдать. Поэтому вычтем из левой и правой частей равенство
[math]\frac{\pi}{2}= \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{t}dt}[/math].
Получим
[math]J'''\left( y \right) - \frac{\pi}{2}= - \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{{t\left({1 +{t^4}}\right)}}dt}[/math].
Это равенство уже можно дифференцировать
[math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Поэтому функция [math]J\left( y \right)[/math] удовлетворяет уравнению
[math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) + J\left( y \right) = 0[/math]
и начальным условиям
[math]J\left( 0 \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{1}{{1 +{t^4}}}dt}= \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math],
[math]J'\left( 0 \right) = 0[/math],
[math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}}}{{1 +{t^4}}}dt}= - \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math],
[math]J'''\left( 0 \right) = \frac{\pi}{2}[/math].
Решая эту (нудную) задачу Коши получим (надеюсь не ошибся)
[math]J\left( y \right) = \frac{\pi}{2}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math].
Ответ:
[math]I\left({a,b}\right) = \frac{\pi}{{2{a^3}}}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/