Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить интеграл
СообщениеДобавлено: 28 май 2015, 20:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2014, 14:18
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить интеграл [math]\int_{0}^{+\infty} \frac{cos(bx)}{{a}^{4}+{x}^{4}}dx[/math]
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить интеграл
СообщениеДобавлено: 29 май 2015, 10:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если нельзя пользоваться вычетами, то придётся хитрить.
В силу чётности функций, можно считать параметры положительными.
Выполним замену переменной [math]x = at[/math]. Тогда
[math]I\left({a,b}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos bx}}{{{a^4}+{x^4}}}dx}={a^{- 3}}\int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({abt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}={a^{- 3}}J\left({ab}\right)[/math]
где
[math]J\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Теперь будем дифференцировать по параметру [math]y \geqslant 0[/math] (это возможно согласно теореме о дифференцировании по параметру)
[math]J'\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{t\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math],
[math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math],
[math]J'''\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^3}\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Для дальнейшего нам надо вычислить ещё одну производную, однако формальное дифференцирование здесь не оправдать. Поэтому вычтем из левой и правой частей равенство
[math]\frac{\pi}{2}= \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{t}dt}[/math].
Получим
[math]J'''\left( y \right) - \frac{\pi}{2}= - \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{{t\left({1 +{t^4}}\right)}}dt}[/math].
Это равенство уже можно дифференцировать
[math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math].
Поэтому функция [math]J\left( y \right)[/math] удовлетворяет уравнению
[math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) + J\left( y \right) = 0[/math]
и начальным условиям
[math]J\left( 0 \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{1}{{1 +{t^4}}}dt}= \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math],
[math]J'\left( 0 \right) = 0[/math],
[math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}}}{{1 +{t^4}}}dt}= - \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math],
[math]J'''\left( 0 \right) = \frac{\pi}{2}[/math].
Решая эту (нудную) задачу Коши получим (надеюсь не ошибся)
[math]J\left( y \right) = \frac{\pi}{2}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math].
Ответ:
[math]I\left({a,b}\right) = \frac{\pi}{{2{a^3}}}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alinchik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

dms

2

353

28 май 2023, 09:49

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

fam1x

1

411

06 фев 2015, 16:18

Вычислить интеграл

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

tan_tan

7

491

04 фев 2015, 20:25

Как вычислить интеграл x/sin^2x

в форуме Интегральное исчисление

gail-ul

4

325

14 дек 2016, 20:50

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

NikitaSPb

0

208

19 дек 2016, 09:34

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

137

22 янв 2020, 21:22

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

gail-ul

5

367

26 дек 2016, 17:15

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

pacha

2

498

05 апр 2021, 18:53

Вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

killa1c

2

298

03 фев 2020, 00:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved