Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Alinchik |
|
|
|
Ни к каким известным интегралам свести не удалось! |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Если нельзя пользоваться вычетами, то придётся хитрить.
В силу чётности функций, можно считать параметры положительными. Выполним замену переменной [math]x = at[/math]. Тогда [math]I\left({a,b}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos bx}}{{{a^4}+{x^4}}}dx}={a^{- 3}}\int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({abt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}={a^{- 3}}J\left({ab}\right)[/math] где [math]J\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math]. Теперь будем дифференцировать по параметру [math]y \geqslant 0[/math] (это возможно согласно теореме о дифференцировании по параметру) [math]J'\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{t\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math], [math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math], [math]J'''\left( y \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^3}\sin \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math]. Для дальнейшего нам надо вычислить ещё одну производную, однако формальное дифференцирование здесь не оправдать. Поэтому вычтем из левой и правой частей равенство [math]\frac{\pi}{2}= \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{t}dt}[/math]. Получим [math]J'''\left( y \right) - \frac{\pi}{2}= - \int\limits_0^\infty{\frac{{\sin \left({yt}\right)}}{{t\left({1 +{t^4}}\right)}}dt}[/math]. Это равенство уже можно дифференцировать [math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{\kern 1pt}\cos \left({yt}\right)}}{{1 +{t^4}}}dt}[/math]. Поэтому функция [math]J\left( y \right)[/math] удовлетворяет уравнению [math]{J^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) + J\left( y \right) = 0[/math] и начальным условиям [math]J\left( 0 \right) = \int\limits_0^\infty{\frac{1}{{1 +{t^4}}}dt}= \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math], [math]J'\left( 0 \right) = 0[/math], [math]J''\left( y \right) = - \int\limits_0^\infty{\frac{{{t^2}{\kern 1pt}}}{{1 +{t^4}}}dt}= - \frac{\pi}{{2\sqrt 2}}[/math], [math]J'''\left( 0 \right) = \frac{\pi}{2}[/math]. Решая эту (нудную) задачу Коши получим (надеюсь не ошибся) [math]J\left( y \right) = \frac{\pi}{2}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left| y \right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math]. Ответ: [math]I\left({a,b}\right) = \frac{\pi}{{2{a^3}}}{e^{- \frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right|}}\sin \left({\frac{{\sqrt 2}}{2}\left|{ab}\right| + \frac{\pi}{4}}\right)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alinchik |
||
|
[ Сообщений: 2 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Вычислить интеграл, Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
579 |
25 апр 2020, 15:39 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
353 |
28 май 2023, 09:49 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
411 |
06 фев 2015, 16:18 |
|
| Вычислить интеграл | 7 |
491 |
04 фев 2015, 20:25 |
|
|
Как вычислить интеграл x/sin^2x
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
325 |
14 дек 2016, 20:50 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
208 |
19 дек 2016, 09:34 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
137 |
22 янв 2020, 21:22 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
367 |
26 дек 2016, 17:15 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
498 |
05 апр 2021, 18:53 |
|
|
Вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
298 |
03 фев 2020, 00:32 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |