| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Двойной интеграл по треугольнику http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=39882 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | fatling [ 28 мар 2015, 19:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Двойной интеграл по треугольнику |
Добрый день, форумчане! Помогите пожалуйста вывести аналитическую формулу для вычисления двойного интеграла по области треугольника. Имеются координаты трех вершин треугольника. Нужно вычислить следующий интеграл: [math]{\iint\limits_S {\left( {A*x + B*y + C} \right)}^2}dS[/math] где [math]A,B,C[/math] константы. Формула желательно должная быть аналитическая(ну или хотя бы чтоб ее можно было без особых проблем добавить в программу на языке C++ ).
|
|
| Автор: | mad_math [ 28 мар 2015, 20:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
От вида треугольника зависит. |
|
| Автор: | fatling [ 28 мар 2015, 21:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
mad_math писал(а): От вида треугольника зависит. Я тоже так думаю, но надеюсь, что найдется общее решение для любого треугольника. Хотя если будет решение, которое разбивает общую задачу на много более мелких подзадач, то я от него не откажусь:) Из входных данных только координаты треугольника. |
|
| Автор: | mad_math [ 28 мар 2015, 21:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
fatling писал(а): Из входных данных только координаты треугольника. Они, как и константы [math]A,\,B,\,C[/math], произвольно вводятся с клавиатуры?
|
|
| Автор: | fatling [ 28 мар 2015, 21:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
mad_math писал(а): fatling писал(а): Из входных данных только координаты треугольника. Они, как и константы [math]A,\,B,\,C[/math], произвольно вводятся с клавиатуры?Ну вводятся они не с клавиатуры, а другим способом, но это не имеет значение. Можно считать, что А,B,C и координаты вводятся с клавиатуры. А,B,C не зависят от x и y |
|
| Автор: | mad_math [ 28 мар 2015, 22:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
Ух. Ну допустим вводятся точки с координатами [math](x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,(x_3,y_3)[/math], и проверку на то, образуют ли они треугольник мы сделали. Нужно сначала сравнить абсциссы точек. Пусть, для определённости, [math]x_1<x_2<x_3[/math]. Находим уравнения прямых, проходящих через данные точки: (1) [math]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1[/math] (2) [math]\frac{x-x_2}{x_3-x_2}=\frac{y-y_2}{y_3-y_2}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2[/math] (3) [math]\frac{x-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y-y_1}{y_3-y_1}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1[/math] Тогда возможны два общих случая: 1) Верхняя граница состоит из двух отрезков ![]() Тогда [math]y_2>y_1[/math] или [math]y_2>y_3[/math]. Искомый интеграл: [math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}(Ax+By+C)^2dy=[/math] [math]=\frac{1}{B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}\right)+\frac{1}{B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_1+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\right)-[/math] [math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_1+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_3+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_2+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\right)-[/math] [math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_3+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)[/math] 2) Нижняя граница состоит из двух отрезков ![]() Тогда [math]y_2<y_1[/math] или [math]y_2<y_3[/math]. Искомый интеграл: [math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}^{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy=...[/math] Его также высчитывать тяжеловато. Ну и не уверена, что не напортачила где-то с индексами
|
|
| Автор: | mad_math [ 28 мар 2015, 22:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
Ещё возможны частные случаи, когда одна из сторон треугольника (или две) параллельны координатным осям. |
|
| Автор: | fatling [ 28 мар 2015, 23:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
Ого, ничего себе Спасибо Вам огромное! Я думаю мне это безумно поможет, я и не надеялся на такое подробное решение. Глазами пробежал, идея понятная и правильная, конечно еще проверю на всякий случай. Обязательно отпишусь, когда реализую в программе.До этого у меня был всего реализован случай, когда две стороны параллельны осям координат Еще раз спасибо!
|
|
| Автор: | mad_math [ 28 мар 2015, 23:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
Всегда пожалуйста
|
|
| Автор: | mad_math [ 29 мар 2015, 00:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл по треугольнику |
Нашла ошибку в знаке и коэффициентах: [math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}(Ax+By+C)^2dy=[/math] [math]=\frac{1}{B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}\right)+\frac{1}{B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)=[/math] [math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_1+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\right)-[/math] [math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_1+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)+[/math] [math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_3+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_2+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\right)-[/math] [math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_3+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)[/math] Но похоже есть ещё где-то ошибки. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|