Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойной интеграл по треугольнику
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=39882
Страница 1 из 1

Автор:  fatling [ 28 мар 2015, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Двойной интеграл по треугольнику

Добрый день, форумчане! Помогите пожалуйста вывести аналитическую формулу для вычисления двойного интеграла по области треугольника. Имеются координаты трех вершин треугольника. Нужно вычислить следующий интеграл:
[math]{\iint\limits_S {\left( {A*x + B*y + C} \right)}^2}dS[/math]
где [math]A,B,C[/math] константы.

Формула желательно должная быть аналитическая(ну или хотя бы чтоб ее можно было без особых проблем добавить в программу на языке C++ :) ).

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 20:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

От вида треугольника зависит.

Автор:  fatling [ 28 мар 2015, 21:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

mad_math писал(а):
От вида треугольника зависит.

Я тоже так думаю, но надеюсь, что найдется общее решение для любого треугольника. Хотя если будет решение, которое разбивает общую задачу на много более мелких подзадач, то я от него не откажусь:)
Из входных данных только координаты треугольника.

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 21:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

fatling писал(а):
Из входных данных только координаты треугольника.
Они, как и константы [math]A,\,B,\,C[/math], произвольно вводятся с клавиатуры?

Автор:  fatling [ 28 мар 2015, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

mad_math писал(а):
fatling писал(а):
Из входных данных только координаты треугольника.
Они, как и константы [math]A,\,B,\,C[/math], произвольно вводятся с клавиатуры?

Ну вводятся они не с клавиатуры, а другим способом, но это не имеет значение. Можно считать, что А,B,C и координаты вводятся с клавиатуры. А,B,C не зависят от x и y

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

Ух. Ну допустим вводятся точки с координатами [math](x_1,y_1),\,(x_2,y_2),\,(x_3,y_3)[/math], и проверку на то, образуют ли они треугольник мы сделали.
Нужно сначала сравнить абсциссы точек. Пусть, для определённости, [math]x_1<x_2<x_3[/math].
Находим уравнения прямых, проходящих через данные точки:
(1) [math]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1[/math]
(2) [math]\frac{x-x_2}{x_3-x_2}=\frac{y-y_2}{y_3-y_2}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2[/math]
(3) [math]\frac{x-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y-y_1}{y_3-y_1}[/math], откуда [math]y=\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1[/math]
Тогда возможны два общих случая:
1) Верхняя граница состоит из двух отрезков
Изображение

Тогда [math]y_2>y_1[/math] или [math]y_2>y_3[/math].
Искомый интеграл:
[math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}(Ax+By+C)^2dy=[/math]

[math]=\frac{1}{B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}\right)+\frac{1}{B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_1+\frac{(C-y_1)(x_2-x_1)-B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\right)-[/math]

[math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_1+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_3+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_2+\frac{(C-y_2)(x_3-x_2)-B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\right)-[/math]

[math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_3+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C-y_1)(x_3-x_1)-B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)[/math]

2) Нижняя граница состоит из двух отрезков
Изображение

Тогда [math]y_2<y_1[/math] или [math]y_2<y_3[/math].
Искомый интеграл:
[math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}^{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy=...[/math]

Его также высчитывать тяжеловато.
Ну и не уверена, что не напортачила где-то с индексами :dntknow:

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

Ещё возможны частные случаи, когда одна из сторон треугольника (или две) параллельны координатным осям.

Автор:  fatling [ 28 мар 2015, 23:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

Ого, ничего себе :shock:
Спасибо Вам огромное! :Bravo: Я думаю мне это безумно поможет, я и не надеялся на такое подробное решение. Глазами пробежал, идея понятная и правильная, конечно еще проверю на всякий случай. Обязательно отпишусь, когда реализую в программе.
До этого у меня был всего реализован случай, когда две стороны параллельны осям координат :oops: :pardon:

Еще раз спасибо! :Bravo: :Bravo: :Bravo:

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 23:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

Всегда пожалуйста :)

Автор:  mad_math [ 29 мар 2015, 00:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл по треугольнику

Нашла ошибку в знаке и коэффициентах:
[math]\iint_S(Ax+By+C)^2dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}(Ax+By+C)^2dy+\int_{x_2}^{x_3}dx\int_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}(Ax+By+C)^2dy=[/math]

[math]=\frac{1}{B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1}\right)+\frac{1}{B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\frac{(Ax+By+C)^3}{3}\Bigr|_{\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}^{\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}+y_1\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_2)(y_3-y_2)}{x_3-x_2}+y_2}\right)+C\right)^3-\left(Ax+B\cdot\left(\frac{(x-x_1)(y_3-y_1)}{x_3-x_1}+y_1}\right)+C\right)^3\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}dx\left(\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}dx\left(\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3-\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^3dx-\frac{1}{3B}\int_{x_2}^{x_3}\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^3\right)dx=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_1}^{x_2}\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}x+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}x+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\Bigr|_{x_2}^{x_3}\right)=[/math]

[math]=\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_2-x_1}{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\cdot x_1+\frac{(C+y_1)(x_2-x_1)-Bx_1(y_2-y_1)}{x_2-x_1}\right)^4}{4}\right)-[/math]

[math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_1+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)+[/math]

[math]+\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_2}{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_3+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_2)+B(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\cdot x_2+\frac{(C+y_2)(x_3-x_2)-Bx_2(y_3-y_2)}{x_3-x_2}\right)^4}{4}\right)-[/math]

[math]-\frac{1}{3B}\cdot\frac{x_3-x_1}{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_3+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}-\frac{\left(\frac{A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\cdot x_2+\frac{(C+y_1)(x_3-x_1)-Bx_1(y_3-y_1)}{x_3-x_1}\right)^4}{4}\right)[/math]

Но похоже есть ещё где-то ошибки.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/