Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=397
Страница 1 из 1

Автор:  Kristina10 [ 15 апр 2010, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

Помогите, пожалуйста, найти площадь фигуры, уравнение которой задано в полярной системе координат, и построить график:

[math]p=6(1+\sin\varphi),~\varphi=0[/math]

Заранее огромное спасибо.

Автор:  Alexdemath [ 15 апр 2010, 20:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

Kristina10 писал(а):
Помогите, пожалуйста, найти площадь фигуры, уравнение которой задано в полярной системе координат, и построить график:

[math]p=6(1+\sin\varphi),~\varphi=0[/math]

Заранее огромное спасибо.

Используйте стандартную формулу для площади фигуры, границы которой заданы кривой в полярных координатах [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\rho^2\,d\varphi,~\alpha\leqslant\varphi\leqslant\beta}}}[/math].
В вашем случае [math]\alpha=0[/math] и [math]\beta=2\pi[/math].

[math]S=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\rho^2\,dx=18\int\limits_0^{2\pi}(1+\sin\varphi)^2\,d\varphi=18\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(1+2\sin\varphi+\sin^2\varphi\Bigl)^2d\varphi=[/math]

[math]=18\int\limits_0^{2\pi}\!\left(1+2\sin\varphi+\frac{1-\cos2\varphi}{2}\right)^2\!d\varphi=18\int\limits_0^{2\pi}\!\left(\frac{3}{2}+2\sin\varphi-\frac{1}{2}\cos2\varphi\right)^2\!d\varphi=[/math]

[math]=18\left.{\left(\frac{3}{2}\varphi-2\cos\varphi-\frac{1}{4}\sin2\varphi\right)}\right|_0^{2\pi}=18(3\pi-2+2)=54\pi.[/math]

График кардиоиды в полярных координатах (зелёным отмечена искомая площадь).

Изображение

Вложения:
Комментарий к файлу: Открывать только через MS Word 2007.
Kardioida(p=6+6sin(fi)).docx [29.4 Кб]
Скачиваний: 242

Автор:  DEI [ 27 окт 2010, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

Здравствуйте, подскажите вы бы не могли мне помочь в решении одной задачи

Автор:  Alexdemath [ 27 окт 2010, 18:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

DEI, могли бы, только опубликуйте её в новой теме.

Автор:  DEI [ 27 окт 2010, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

а, сейчас спасибо

Автор:  Elena21 [ 27 мар 2015, 23:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

Изображение

Буду очень признательна, если объясните как получилось (+2) - самое последнее число в скобке. Заранее благодарю.

Автор:  mad_math [ 28 мар 2015, 02:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды, заданной в полярных координатах

По формуле Ньютона-Лейбница:
[math]...=18\left(\frac{3}{2}\cdot 2\pi-2\cos 2\pi-\frac{1}{4}\sin(2\cdot 2\pi)-\left(\frac{3}{2}\cdot 0-2\cos 0-\frac{1}{4}\sin(2\cdot 0)\right)\right)=[/math]

[math]=18\left(3\pi-2\cdot 1-\frac{1}{4}\cdot 0-\left(0-2\cdot 1-\frac{1}{4}\cdot 0\right)\right)=...[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/