Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычисление интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29526
Страница 2 из 2

Автор:  mad_math [ 23 дек 2013, 23:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

DoubleLucker писал(а):
Но все же, каким образом считается интеграл?
Написано ведь: с помощью тригонометрической подстановки [math]x=\cos\theta,\,dx=-\sin\theta,\,x_1=\arccos 0=1,\,x_2=\arccos 1=\frac{\pi}{2},\,\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\sin\theta}=\sin\theta[/math]

Автор:  DoubleLucker [ 23 дек 2013, 23:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

mad_math писал(а):
DoubleLucker писал(а):
Но все же, каким образом считается интеграл?
Написано ведь: с помощью тригонометрической подстановки [math]x=\cos\theta,\,dx=-\sin\theta,\,x_1=\arccos 0=1,\,x_2=\arccos 1=\frac{\pi}{2},\,\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\sin\theta}=\sin\theta[/math]


Нет, замену я понял, а вот дальше, первое равенство из нижней строчки приложенной фотографии.

Автор:  erjoma [ 24 дек 2013, 00:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

[math]\frac{1}{{1 + {y^2}{{\cos }^2}\theta }} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} + {y^2}}}\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }}[/math]

Автор:  DoubleLucker [ 24 дек 2013, 00:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

erjoma писал(а):
[math]\frac{1}{{1 + {y^2}{{\cos }^2}\theta }} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} + {y^2}}}\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }}[/math]

Премного благодарен!

Автор:  Avgust [ 24 дек 2013, 00:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

erjoma писал(а):
Avgust
т.е. при [math]a<0[/math], мы получим, что интеграл от неотрицательной функции равен отрицательному числу?
Замечание справедливо. Я неправильно извлек корень квадратный. Нужно так:

[math]\frac{1}{|a|\sqrt{1+a^2}} \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac xa \sqrt{\frac{1+a^2}{1-x^2}} \right )\bigg |_0^1=\frac{\pi}{2|a|\sqrt{1+a^2}}[/math]

Автор:  DoubleLucker [ 24 дек 2013, 08:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

DoubleLucker писал(а):
erjoma писал(а):
[math]\frac{1}{{1 + {y^2}{{\cos }^2}\theta }} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} + {y^2}}}\frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }}[/math]

Премного благодарен!


Хотя все равно : мы делаем замену же [math]tg{\theta} = p[/math], но в приложенной фотографии пределы не меняются. Я понимаю, что [math]tg{0} = 0[/math], но [math]tg{\frac{\pi}{2}} = ?[/math]

Автор:  erjoma [ 24 дек 2013, 11:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

DoubleLucker писал(а):
Хотя все равно : мы делаем замену же [math]tg{\theta} = p[/math], но в приложенной фотографии пределы не меняются.

Использовалоь интегрирование с подведением под знак дифференциала.
Если Вы делаете замену [math]tg{\theta} = p[/math], то верхний предел нужно заменить на [math]\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} {\mathop{\rm tg}\nolimits} \theta = + \infty[/math]

P.S.
Приложенная фотография это часть стр. 674 Курса дифферециального и интегрального исчисления, том 2 Г.М. Фихтенгольца.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/