Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычисление интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29526
Страница 1 из 2

Автор:  DoubleLucker [ 23 дек 2013, 20:40 ]
Заголовок сообщения:  Вычисление интеграла

[math]\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\frac{1}{{{x^2} + {a^2}}}dx[/math]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл.

Автор:  erjoma [ 23 дек 2013, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Нет ли ошибки в подинтегральной функции (в выражении стоящем под корнем) ?

Автор:  Avgust [ 23 дек 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Интеграл взял, но только неопределенный:

[math]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\cdot \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{2a\sqrt{1+a^2}}\cdot \ln \left (\frac{a \sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1+a^2}}{a \sqrt{x^2-1}-x\sqrt{1+a^2}} \right )+C[/math]

Если подставить пределы, то будет комплексный результат. Если же аргумент логарифма взять по модулю, то получим ноль.

Что-то не то...

Автор:  erjoma [ 23 дек 2013, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Avgust
[math]{\sqrt {{x^2} - 1} }[/math] дейсвительный корень при [math]0 < x < 1[/math] существует?
Ваша формула верна скорей всего для [math]x \geqslant 1[/math].

Автор:  Avgust [ 23 дек 2013, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Да, конечно. Я взял формально.
Первообразную проверил - все нормально: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 9%29%29%27

Автор:  DoubleLucker [ 23 дек 2013, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Ой, извините, пожалуйста. Там под корнем [math]{1-{x^2}}[/math].

Автор:  erjoma [ 23 дек 2013, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Изображение

Автор:  Avgust [ 23 дек 2013, 22:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Да, так и делал. Получил

[math]\frac{1}{a\sqrt{1+a^2}} \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac xa \sqrt{\frac{1+a^2}{1-x^2}} \right )\bigg |_0^1=\frac{\pi}{2a\sqrt{1+a^2}}[/math]

Автор:  erjoma [ 23 дек 2013, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

Avgust
т.е. при [math]a<0[/math], мы получим, что интеграл от неотрицательной функции равен отрицательному числу?

Автор:  DoubleLucker [ 23 дек 2013, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление интеграла

erjoma писал(а):
Изображение


Спасибо! Но все же, каким образом считается интеграл? Ну т.е. : Как пояснить первый знак равенства?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/