| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычисление интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29526 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | DoubleLucker [ 23 дек 2013, 20:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычисление интеграла |
[math]\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\frac{1}{{{x^2} + {a^2}}}dx[/math] Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл. |
|
| Автор: | erjoma [ 23 дек 2013, 22:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Нет ли ошибки в подинтегральной функции (в выражении стоящем под корнем) ? |
|
| Автор: | Avgust [ 23 дек 2013, 22:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Интеграл взял, но только неопределенный: [math]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\cdot \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{2a\sqrt{1+a^2}}\cdot \ln \left (\frac{a \sqrt{x^2-1}+x\sqrt{1+a^2}}{a \sqrt{x^2-1}-x\sqrt{1+a^2}} \right )+C[/math] Если подставить пределы, то будет комплексный результат. Если же аргумент логарифма взять по модулю, то получим ноль. Что-то не то... |
|
| Автор: | erjoma [ 23 дек 2013, 22:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Avgust [math]{\sqrt {{x^2} - 1} }[/math] дейсвительный корень при [math]0 < x < 1[/math] существует? Ваша формула верна скорей всего для [math]x \geqslant 1[/math]. |
|
| Автор: | Avgust [ 23 дек 2013, 22:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Да, конечно. Я взял формально. Первообразную проверил - все нормально: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 9%29%29%27 |
|
| Автор: | DoubleLucker [ 23 дек 2013, 22:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Ой, извините, пожалуйста. Там под корнем [math]{1-{x^2}}[/math]. |
|
| Автор: | erjoma [ 23 дек 2013, 22:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
|
|
| Автор: | Avgust [ 23 дек 2013, 22:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Да, так и делал. Получил [math]\frac{1}{a\sqrt{1+a^2}} \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac xa \sqrt{\frac{1+a^2}{1-x^2}} \right )\bigg |_0^1=\frac{\pi}{2a\sqrt{1+a^2}}[/math] |
|
| Автор: | erjoma [ 23 дек 2013, 23:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
Avgust т.е. при [math]a<0[/math], мы получим, что интеграл от неотрицательной функции равен отрицательному числу? |
|
| Автор: | DoubleLucker [ 23 дек 2013, 23:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычисление интеграла |
erjoma писал(а): ![]() Спасибо! Но все же, каким образом считается интеграл? Ну т.е. : Как пояснить первый знак равенства? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|