Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить координаты центра масс однородного тела, что заним
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29357
Страница 1 из 1

Автор:  lerenia [ 20 дек 2013, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить координаты центра масс однородного тела, что заним

Вычислить координаты центра масс однородного тела, что занимает область V, ограниченную поверхностями:
V: y^2+z^2=3x, x=9
как его решать и какой график будет?

Автор:  Alexdemath [ 21 дек 2013, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить координаты центра масс однородного тела, что заним

Стандартные формулы помогут (в начале перейдите в цилиндрические координаты)

[math]\begin{gathered} V = \left\{y^2 + z^2 \leqslant \bigl(3\sqrt{3}\bigr)^2,~\frac{y^2+z^2}{3} \leqslant x \leqslant 9} \right\} \hfill \\y = r\cos \varphi ,\quad z = r\sin \varphi ,\quad x = x \hfill \\ V^{*} = \left\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant 3\sqrt{3},~\frac{1}{3}\,r^2 \leqslant x \leqslant 9 \right\} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

[math]\begin{gathered}m = \iiint\limits_V dxdydz = \iiint\limits_{V^{\ast}}r\,drd\varphi dx = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{3\sqrt 3}r\,dr \int\limits_{r^2 \!\not{\phantom{|}}\,\, 3}^{9}dx= \ldots = \frac{243}{2}\,\pi \hfill \\ m_{xy}= \iiint\limits_V z\,dxdydz = \iiint\limits_{V^{\ast}}r\sin \varphi\;r\,drd\varphi dx= \int\limits_0^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int\limits_0^{3\sqrt3}r^2\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\,3}^{9}dx = \ldots = 0 \hfill \\ m_{xz}= \iiint\limits_V y\,dxdydz = \iiint\limits_{V^{\ast}}r\cos \varphi\;r\,drd\varphi dx= \int\limits_0^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi \int\limits_0^{3\sqrt3}r^2\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\,3}^{9}dx=\ldots =0 \hfill \\ m_{yz}= \iiint\limits_V x\,dxdydz = \iiint\limits_{V^{\ast}}x\,r\,drd\varphi dx}= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{3\sqrt3}r^2\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\,3}^{9}x\,dx=\ldots= 729\pi \hfill \\ \end{gathered}[/math]

[math]x_c = \frac{m_{yz}}{m} = 729\pi \,\colon \frac{243}{2}\pi = 6,\qquad y_c= \frac{m_{xz}}{m} = 0,\qquad z_c= \frac{m_{xy}}{m}= 0.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/