Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл, содержащий гиперболические функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28973
Страница 1 из 1

Автор:  Inna Malysheva [ 13 дек 2013, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл, содержащий гиперболические функции

Всем привет!
Вот такая вот задачка. Нужно решить интеграл и проверить потом путем дифференцирования.
Решать интегралы умею, но именно с этим проблема. Запуталась с преобразованием.
Прошу подтолкнуть в нужном направлении)

P.S. все формулы уже подняла по разделу гиперболических функций...Изображение

Автор:  grigoriew-grisha [ 13 дек 2013, 21:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Заносишь гиперболический синус под дифференциал, а под корнем понижаешь аргумент до гиперболического косинуса.

Автор:  Inna Malysheva [ 13 дек 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

grigoriew-grisha
не подскажите, правильно ли?
Изображение

Автор:  grigoriew-grisha [ 13 дек 2013, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Замена - верная, а сам интеграл взят с ошибкой. Загляните в таблицу интегралов.

Автор:  Inna Malysheva [ 13 дек 2013, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

grigoriew-grisha
Если брать строго по таблице интегралов, то получается вот так:
Изображение

Но тогда проверка путем дифференцирования не дает верного результата.
Изображение
Значит, где-то ошибка в вычислениях. Разве нет?

Автор:  grigoriew-grisha [ 13 дек 2013, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Вы опять ошиблись в таблице интегралов. Ваш интеграл называется "длинный логарифм".

Автор:  Inna Malysheva [ 14 дек 2013, 11:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Изображение

я рассматривала этот путь, но не пошла по нему, т.к. проверка в этом случае заходит в тупик.
Изображение

в данном случае я решала при помощи формулы:
Изображение

в прошлый раз использовала эту формулу:
Изображение

Автор:  grigoriew-grisha [ 14 дек 2013, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Вы бы хоть условия применимости формул проверяли, что-ли...

Автор:  Inna Malysheva [ 14 дек 2013, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

grigoriew-grisha
к тому, что я неверно использовала формула, я уже и так пришла.
Теперь у меня другая загвоздка - где ошибка, раз проверка не дает правильного результата?

Автор:  Yurik [ 14 дек 2013, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, содержащий гиперболические функции

Не совсем верно взяли интеграл. Может быть, поэтому и проверка не пошла.

[math]\begin{gathered} \int {\frac{{shxdx}}{{\sqrt {ch2x} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int {\frac{{d\left( {\sqrt 2 chx} \right)}}{{\sqrt {2c{h^2}x - 1} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\sqrt 2 chx + \sqrt {2c{h^2}x - 1} } \right| + C = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\sqrt 2 chx + \sqrt {ch2x} } \right| + C \hfill \\ \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\sqrt 2 chx + \sqrt {ch2x} } \right| + C} \right)' = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 shx + \frac{{sh2x}}{{\sqrt {ch2x} }}}}{{\sqrt 2 chx + \sqrt {ch2x} }} = \hfill \\ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 shx\sqrt {ch2x} + sh2x}}{{\left( {\sqrt 2 chx + \sqrt {ch2x} } \right)\sqrt {ch2x} }} = \frac{{shx\left( {\sqrt {ch2x} + \sqrt 2 ch2x} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 chx + \sqrt {ch2x} } \right)\sqrt {ch2x} }} = \frac{{shx}}{{\sqrt {ch2x} }} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/