Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегрирование дроби
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28888
Страница 1 из 1

Автор:  Max_Hoe [ 12 дек 2013, 00:55 ]
Заголовок сообщения:  Интегрирование дроби

Приветствую.
Объясните пожалуйста решение данного интеграла:
[math]\[\int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}}} \][/math]

Метод простой замены и приведения числителя к знаменателю здесь не подходят. Все ломает "икс" в степени.

Автор:  valentina [ 12 дек 2013, 01:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегрирование дроби

Подстановка (введение функции под знак дифференциала)

[math]\[\int{f{{(x)}_{}}d}x = \int{f\left( x \right)\frac{{d\left({f(x)}\right)}}{{{f^|}\left( x \right)}}}\][/math]

[math]\[\int{\frac{{{\text{}}{2^x}dx}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}= \int{\frac{{{\text{}}{2^x}}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}}\frac{{d{2^x}}}{{{2^x}\ln 2}}= \frac{1}{{\ln 2}}\int{\frac{{d{2^x}{\text{}}}}{{{\text{}}{{\left({{{\text{2}}^x}}\right)}^2}+{{\sqrt 5}^2}}}}}\][/math]

[math]\[\int{\frac{1}{{{a^2}+{u^2}}}du =}\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+ C\][/math]

Автор:  mad_math [ 12 дек 2013, 01:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегрирование дроби

Да ничего он не "ломает", если свойства степеней знать: [math]4^x+5=2^{2x}+5=(2^x)^2+5,\,2^x=t,\,2^xdx=\frac{dt}{\ln{2}}[/math]

[math]\int\frac{2^xdx}{4^x+5}=\int\frac{dt}{\ln{2}(t^2+5)}=...[/math]

Автор:  Max_Hoe [ 12 дек 2013, 12:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегрирование дроби

Спасибо!

не знаю как перебороть тег перехода на новую строку)

[math]\[\begin{array}{l}
\int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}} = } \int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{{{\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)}^2} + 5}}} = (*)\\
1)\mathop 2\nolimits^x = t;\\
2){\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)^|} = \mathop 2\nolimits^X \ln 2;\\
3)\mathop 2\nolimits^x dx = \frac{{dt}}{{\ln 2}};\\
(*) = \int {\frac{{dt}}{{\ln 2(\mathop t\nolimits^2 + 5)}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + 5}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop t\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c;\\
t = \mathop 2\nolimits^x \Rightarrow \frac{1}{{\ln 2{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop {(\mathop 2\nolimits^X )}\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c
\end{array}\][/math]

Автор:  mad_math [ 12 дек 2013, 13:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегрирование дроби

Почти, только [math]\int\frac{dt}{t^2+5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{5}}+C[/math] - без квадрата.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/