| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интегрирование дроби http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28888 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Max_Hoe [ 12 дек 2013, 00:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Интегрирование дроби |
Приветствую. Объясните пожалуйста решение данного интеграла: [math]\[\int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}}} \][/math] Метод простой замены и приведения числителя к знаменателю здесь не подходят. Все ломает "икс" в степени. |
|
| Автор: | valentina [ 12 дек 2013, 01:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегрирование дроби |
Подстановка (введение функции под знак дифференциала) [math]\[\int{f{{(x)}_{}}d}x = \int{f\left( x \right)\frac{{d\left({f(x)}\right)}}{{{f^|}\left( x \right)}}}\][/math] [math]\[\int{\frac{{{\text{}}{2^x}dx}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}= \int{\frac{{{\text{}}{2^x}}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}}\frac{{d{2^x}}}{{{2^x}\ln 2}}= \frac{1}{{\ln 2}}\int{\frac{{d{2^x}{\text{}}}}{{{\text{}}{{\left({{{\text{2}}^x}}\right)}^2}+{{\sqrt 5}^2}}}}}\][/math] [math]\[\int{\frac{1}{{{a^2}+{u^2}}}du =}\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+ C\][/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 12 дек 2013, 01:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегрирование дроби |
Да ничего он не "ломает", если свойства степеней знать: [math]4^x+5=2^{2x}+5=(2^x)^2+5,\,2^x=t,\,2^xdx=\frac{dt}{\ln{2}}[/math] [math]\int\frac{2^xdx}{4^x+5}=\int\frac{dt}{\ln{2}(t^2+5)}=...[/math] |
|
| Автор: | Max_Hoe [ 12 дек 2013, 12:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегрирование дроби |
Спасибо! не знаю как перебороть тег перехода на новую строку) [math]\[\begin{array}{l} \int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}} = } \int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{{{\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)}^2} + 5}}} = (*)\\ 1)\mathop 2\nolimits^x = t;\\ 2){\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)^|} = \mathop 2\nolimits^X \ln 2;\\ 3)\mathop 2\nolimits^x dx = \frac{{dt}}{{\ln 2}};\\ (*) = \int {\frac{{dt}}{{\ln 2(\mathop t\nolimits^2 + 5)}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + 5}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop t\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c;\\ t = \mathop 2\nolimits^x \Rightarrow \frac{1}{{\ln 2{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop {(\mathop 2\nolimits^X )}\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c \end{array}\][/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 12 дек 2013, 13:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегрирование дроби |
Почти, только [math]\int\frac{dt}{t^2+5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{5}}+C[/math] - без квадрата. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|