Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегрирование дроби
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 00:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2013, 00:40
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую.
Объясните пожалуйста решение данного интеграла:
[math]\[\int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}}} \][/math]

Метод простой замены и приведения числителя к знаменателю здесь не подходят. Все ломает "икс" в степени.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дроби
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 01:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подстановка (введение функции под знак дифференциала)

[math]\[\int{f{{(x)}_{}}d}x = \int{f\left( x \right)\frac{{d\left({f(x)}\right)}}{{{f^|}\left( x \right)}}}\][/math]

[math]\[\int{\frac{{{\text{}}{2^x}dx}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}= \int{\frac{{{\text{}}{2^x}}}{{{\text{}}{4^x}+ 5}}}\frac{{d{2^x}}}{{{2^x}\ln 2}}= \frac{1}{{\ln 2}}\int{\frac{{d{2^x}{\text{}}}}{{{\text{}}{{\left({{{\text{2}}^x}}\right)}^2}+{{\sqrt 5}^2}}}}}\][/math]

[math]\[\int{\frac{1}{{{a^2}+{u^2}}}du =}\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+ C\][/math]


Последний раз редактировалось valentina 12 дек 2013, 01:52, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю valentina "Спасибо" сказали:
Max_Hoe
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дроби
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 01:52 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да ничего он не "ломает", если свойства степеней знать: [math]4^x+5=2^{2x}+5=(2^x)^2+5,\,2^x=t,\,2^xdx=\frac{dt}{\ln{2}}[/math]

[math]\int\frac{2^xdx}{4^x+5}=\int\frac{dt}{\ln{2}(t^2+5)}=...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Max_Hoe, valentina
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дроби
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 12:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2013, 00:40
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

не знаю как перебороть тег перехода на новую строку)

[math]\[\begin{array}{l}
\int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{\mathop 4\nolimits^x + 5}} = } \int {\frac{{\mathop 2\nolimits^x dx}}{{{{\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)}^2} + 5}}} = (*)\\
1)\mathop 2\nolimits^x = t;\\
2){\left( {\mathop 2\nolimits^X } \right)^|} = \mathop 2\nolimits^X \ln 2;\\
3)\mathop 2\nolimits^x dx = \frac{{dt}}{{\ln 2}};\\
(*) = \int {\frac{{dt}}{{\ln 2(\mathop t\nolimits^2 + 5)}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + 5}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \int {\frac{{dt}}{{\mathop t\nolimits^2 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{\ln 2}}} \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop t\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c;\\
t = \mathop 2\nolimits^x \Rightarrow \frac{1}{{\ln 2{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}arctg\frac{{\mathop {(\mathop 2\nolimits^X )}\nolimits^2 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + c
\end{array}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дроби
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 13:23 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почти, только [math]\int\frac{dt}{t^2+5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{5}}+C[/math] - без квадрата.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Max_Hoe
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

MichaelDeMaggot

8

302

14 окт 2018, 11:09

Интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

lesyaTAG

2

247

11 май 2021, 13:32

Интегрирование

в форуме Численные методы

reqwer6767

3

1088

03 май 2015, 15:06

Интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

DobriyMishka

1

196

12 дек 2018, 22:51

Интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

gebvw9

2

312

26 мар 2017, 12:14

Интегрирование, тригонометрия

в форуме Интегральное исчисление

Arno

3

349

22 сен 2015, 19:59

Двойное интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

fam1x

18

679

24 янв 2015, 11:05

Интегрирование ТФКП

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Main

0

282

08 ноя 2015, 15:25

Интегрирование по частям

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

14

777

19 ноя 2015, 20:29

Интегрирование функции

в форуме Интегральное исчисление

Den4iken

2

308

26 дек 2015, 23:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved