Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Взять тригонометрический интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28886
Страница 1 из 1

Автор:  walkman007115 [ 12 дек 2013, 00:36 ]
Заголовок сообщения:  Взять тригонометрический интеграл

Прошу помощи, ибо кроме бинома идей нету :(
Изображение

Автор:  Avgust [ 12 дек 2013, 01:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Кроме бинома есть и такое:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math]

Но поможет ли это?

Автор:  mad_math [ 12 дек 2013, 01:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Avgust писал(а):
Кроме бинома есть и такое:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math]

Но поможет ли это?
У меня была та же мысль. Но это нисколько не упрощает ситуацию.

Автор:  Avgust [ 12 дек 2013, 03:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Предлагаю такой путь. Использовать бином Ньютона и затем воспользоваться моим методом представления [math]\sin^n(x)[/math], который описан в одной из глав книги http://renuar911.narod.ru/part15.htm
Это позволит легко взять интегралы. Все очень просто, только нужно внимательно и аккуратно делать множество вычислений.
Вот таблица и два примера:

Изображение

За работу, товарищи!

PS. Таблица эта - суть укороченная Таблица Паскаля. Если внимательно прочитать мою статью, то ее можно развить до любого [math]n[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 12 дек 2013, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

С помощью метода интегрирования по частям можно вывести следующую формулу:

[math]\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{2n}}xdx}= \frac{{\left({2n - 1}\right)!!}}{{\left({2n}\right)!!}}\cdot \frac{\pi}{2}[/math], где [math]n \in N,\,\,\left({2n - 1}\right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left({2n - 1}\right),\,\,\left({2n}\right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot \left({2n}\right)[/math](двойные факториалы).

Вычислим данный интеграл, используя приведенную выше формулу:

[math]\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\left({1 + \sin x}\right)}^6}dx}= 64 \cdot \int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}\left({\frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right)dx}= \left[{t = \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right] = - 128\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0{{{\cos}^{12}}t}dt = 128\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}t}dt = 128 \cdot \frac{{11!!}}{{12!!}}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{{231\pi}}{{16}}[/math].

Автор:  Avgust [ 12 дек 2013, 17:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Я своим методом нашел:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=\frac{231}{16}+\frac{99}{4}\sin(x)-\frac{55}{8}\sin(3x)+\frac 38 \sin(5x)-\frac{495}{32}\cos(2x)+\frac{33}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x)[/math]

Такой интеграл возьмет легко и десятиклассник. Если потом подставить пределы, то получаю http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... .pi%2F2%29

Автор:  Avgust [ 13 дек 2013, 12:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Приведенное выше тождество получено так:

[math]\big [1+\sin {x} \big ]^6=1+6\sin {x}+15\sin^2 {x}+20\sin^3{x}+15\sin^4{x}+6\sin^5{x}+\sin^6{x}[/math]

где при помощи моей таблицы легко выводятся:

[math]\sin^2{x}=\frac 12 (1-\cos{2x})[/math]

[math]\sin^3{x}=\frac{1}{2^2}(3\sin{x}-\sin{3x})[/math]

[math]\sin^4{x}=\frac{1}{2^3}(3-4\cos{2x}+\cos{4x})[/math]

[math]\sin^5{x}=\frac{1}{2^4}(10\sin{x}-5\sin{3x}+\sin{5x})[/math]

[math]\sin^6{x}=\frac{1}{2^5}(10-15\cos{2x}+6\cos{4x}-\cos{6x})[/math]

PS. Огромное спасибо Uncle Fedor за другое, более изящное решение задачи. Материал этой темы включу в очередную 39-ю главу книги.

Автор:  Alexander N [ 13 дек 2013, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

А не проще ли воспользоваться формулой Эйлера и биномом Ньютона? [math][1+i0,5(e^{-ix}-e^{ix})]^6=....[/math]

Автор:  Avgust [ 13 дек 2013, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Взять тригонометрический интеграл

Проще, конечно. Но и муторно. Если в одну строку решение ляжет, то внимательно слушаем :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/