Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| walkman007115 |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Кроме бинома есть и такое:
[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math] Но поможет ли это? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Avgust писал(а): Кроме бинома есть и такое: У меня была та же мысль. Но это нисколько не упрощает ситуацию.[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math] Но поможет ли это? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Предлагаю такой путь. Использовать бином Ньютона и затем воспользоваться моим методом представления [math]\sin^n(x)[/math], который описан в одной из глав книги http://renuar911.narod.ru/part15.htm
Это позволит легко взять интегралы. Все очень просто, только нужно внимательно и аккуратно делать множество вычислений. Вот таблица и два примера: ![]() За работу, товарищи! PS. Таблица эта - суть укороченная Таблица Паскаля. Если внимательно прочитать мою статью, то ее можно развить до любого [math]n[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Uncle Fedor |
|
|
|
С помощью метода интегрирования по частям можно вывести следующую формулу:
[math]\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{2n}}xdx}= \frac{{\left({2n - 1}\right)!!}}{{\left({2n}\right)!!}}\cdot \frac{\pi}{2}[/math], где [math]n \in N,\,\,\left({2n - 1}\right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left({2n - 1}\right),\,\,\left({2n}\right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot \left({2n}\right)[/math](двойные факториалы). Вычислим данный интеграл, используя приведенную выше формулу: [math]\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\left({1 + \sin x}\right)}^6}dx}= 64 \cdot \int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}\left({\frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right)dx}= \left[{t = \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right] = - 128\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0{{{\cos}^{12}}t}dt = 128\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}t}dt = 128 \cdot \frac{{11!!}}{{12!!}}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{{231\pi}}{{16}}[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Avgust, mad_math |
||
| Avgust |
|
|
|
Я своим методом нашел:
[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=\frac{231}{16}+\frac{99}{4}\sin(x)-\frac{55}{8}\sin(3x)+\frac 38 \sin(5x)-\frac{495}{32}\cos(2x)+\frac{33}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x)[/math] Такой интеграл возьмет легко и десятиклассник. Если потом подставить пределы, то получаю http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... .pi%2F2%29 |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Приведенное выше тождество получено так:
[math]\big [1+\sin {x} \big ]^6=1+6\sin {x}+15\sin^2 {x}+20\sin^3{x}+15\sin^4{x}+6\sin^5{x}+\sin^6{x}[/math] где при помощи моей таблицы легко выводятся: [math]\sin^2{x}=\frac 12 (1-\cos{2x})[/math] [math]\sin^3{x}=\frac{1}{2^2}(3\sin{x}-\sin{3x})[/math] [math]\sin^4{x}=\frac{1}{2^3}(3-4\cos{2x}+\cos{4x})[/math] [math]\sin^5{x}=\frac{1}{2^4}(10\sin{x}-5\sin{3x}+\sin{5x})[/math] [math]\sin^6{x}=\frac{1}{2^5}(10-15\cos{2x}+6\cos{4x}-\cos{6x})[/math] PS. Огромное спасибо Uncle Fedor за другое, более изящное решение задачи. Материал этой темы включу в очередную 39-ю главу книги. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
А не проще ли воспользоваться формулой Эйлера и биномом Ньютона? [math][1+i0,5(e^{-ix}-e^{ix})]^6=....[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Проще, конечно. Но и муторно. Если в одну строку решение ляжет, то внимательно слушаем
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Найти тригонометрический интеграл Фурье | 6 |
613 |
09 янв 2021, 14:10 |
|
|
Взять интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
673 |
19 мар 2018, 14:21 |
|
|
Взять интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
350 |
14 ноя 2020, 12:49 |
|
|
Взять интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
367 |
25 дек 2018, 16:22 |
|
|
Взять интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
281 |
11 мар 2018, 21:37 |
|
|
Как взять интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
434 |
16 апр 2017, 19:50 |
|
|
Как взять интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
12 |
479 |
13 ноя 2019, 21:00 |
|
|
Как взять интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
360 |
01 июн 2017, 20:32 |
|
|
Взять интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
242 |
23 дек 2018, 00:28 |
|
|
Как взять этот интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
415 |
13 сен 2015, 20:07 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |