Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 00:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 дек 2013, 08:23
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помощи, ибо кроме бинома идей нету :(
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 01:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кроме бинома есть и такое:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math]

Но поможет ли это?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 01:54 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Кроме бинома есть и такое:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=64 \sin^{12} \left (\frac x2+\frac{\pi}{4} \right )[/math]

Но поможет ли это?
У меня была та же мысль. Но это нисколько не упрощает ситуацию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 03:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю такой путь. Использовать бином Ньютона и затем воспользоваться моим методом представления [math]\sin^n(x)[/math], который описан в одной из глав книги http://renuar911.narod.ru/part15.htm
Это позволит легко взять интегралы. Все очень просто, только нужно внимательно и аккуратно делать множество вычислений.
Вот таблица и два примера:

Изображение

За работу, товарищи!

PS. Таблица эта - суть укороченная Таблица Паскаля. Если внимательно прочитать мою статью, то ее можно развить до любого [math]n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 11:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С помощью метода интегрирования по частям можно вывести следующую формулу:

[math]\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{2n}}xdx}= \frac{{\left({2n - 1}\right)!!}}{{\left({2n}\right)!!}}\cdot \frac{\pi}{2}[/math], где [math]n \in N,\,\,\left({2n - 1}\right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left({2n - 1}\right),\,\,\left({2n}\right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot \left({2n}\right)[/math](двойные факториалы).

Вычислим данный интеграл, используя приведенную выше формулу:

[math]\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\left({1 + \sin x}\right)}^6}dx}= 64 \cdot \int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}\left({\frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right)dx}= \left[{t = \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\right] = - 128\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0{{{\cos}^{12}}t}dt = 128\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^{12}}t}dt = 128 \cdot \frac{{11!!}}{{12!!}}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{{231\pi}}{{16}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Avgust, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 12 дек 2013, 17:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я своим методом нашел:

[math]\big [1+\sin(x) \big ]^6=\frac{231}{16}+\frac{99}{4}\sin(x)-\frac{55}{8}\sin(3x)+\frac 38 \sin(5x)-\frac{495}{32}\cos(2x)+\frac{33}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x)[/math]

Такой интеграл возьмет легко и десятиклассник. Если потом подставить пределы, то получаю http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... .pi%2F2%29

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 13 дек 2013, 12:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приведенное выше тождество получено так:

[math]\big [1+\sin {x} \big ]^6=1+6\sin {x}+15\sin^2 {x}+20\sin^3{x}+15\sin^4{x}+6\sin^5{x}+\sin^6{x}[/math]

где при помощи моей таблицы легко выводятся:

[math]\sin^2{x}=\frac 12 (1-\cos{2x})[/math]

[math]\sin^3{x}=\frac{1}{2^2}(3\sin{x}-\sin{3x})[/math]

[math]\sin^4{x}=\frac{1}{2^3}(3-4\cos{2x}+\cos{4x})[/math]

[math]\sin^5{x}=\frac{1}{2^4}(10\sin{x}-5\sin{3x}+\sin{5x})[/math]

[math]\sin^6{x}=\frac{1}{2^5}(10-15\cos{2x}+6\cos{4x}-\cos{6x})[/math]

PS. Огромное спасибо Uncle Fedor за другое, более изящное решение задачи. Материал этой темы включу в очередную 39-ю главу книги.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 13 дек 2013, 16:52 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А не проще ли воспользоваться формулой Эйлера и биномом Ньютона? [math][1+i0,5(e^{-ix}-e^{ix})]^6=....[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взять тригонометрический интеграл
СообщениеДобавлено: 13 дек 2013, 17:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проще, конечно. Но и муторно. Если в одну строку решение ляжет, то внимательно слушаем :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти тригонометрический интеграл Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Jackoe89

6

613

09 янв 2021, 14:10

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

crazymadman18

8

673

19 мар 2018, 14:21

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

stEgor

9

350

14 ноя 2020, 12:49

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

eva_eva

4

367

25 дек 2018, 16:22

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

karastia_13

1

281

11 мар 2018, 21:37

Как взять интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

brom

6

434

16 апр 2017, 19:50

Как взять интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

Avgust

12

479

13 ноя 2019, 21:00

Как взять интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

brom

1

360

01 июн 2017, 20:32

Взять интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Frost_52

0

242

23 дек 2018, 00:28

Как взять этот интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

Arno

1

415

13 сен 2015, 20:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved