Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать сходимость интегралов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28763
Страница 1 из 1

Автор:  Pepel [ 09 дек 2013, 18:47 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать сходимость интегралов

[math]\[\int\limits_1^{ + \infty } {\tfrac{{dx}}{{{x^p}{{\ln }^q}x}}} ;\int\limits_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\tfrac{{\ln (\sin x)}}{{\sqrt x }}dx} .\][/math]
Будьте добры, объясните способ решения данного задания.

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 дек 2013, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать сходимость интегралов

Во втором логарифм синуса в нуле эквивалентен логарифму икса, а логарифм икса "убивается" в нуле любой положительной степенью этого самого икса, поэтому интеграл сходится.
В первом - аналогичные идеи, но долго писАть...

Автор:  Human [ 10 дек 2013, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать сходимость интегралов

В окрестности единицы

[math]\frac1{x^p\ln^q x}\sim\frac1{(x-1)^q}[/math]

Отсюда по признаку сравнения интеграл в окрестности единицы сходится при [math]q<1[/math] и расходится при [math]q\geqslant1[/math].

Теперь рассмотрим окрестность бесконечности. Пусть [math]p>1,\ \varepsilon=\frac12(p-1)>0[/math]. Тогда в силу предела

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^{\varepsilon}\ln^qx}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math]

существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\frac1{\ln^qx}<x^{\varepsilon}[/math]. При этом

[math]\frac1{x^p\ln^q x}<\frac1{x^{p-\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math]

а поскольку [math]\frac12(p+1)>1[/math], то интеграл сходится по признаку сравнения.

Пусть [math]p=1[/math]. Тогда

[math]\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^qx}=\int\limits_{\ln2}^{+\infty}\frac{dt}{t^q}[/math]

откуда интеграл сходится при [math]q>1[/math] и расходится при [math]q\leqslant1[/math].

Пусть, наконец, [math]p<1,\ \varepsilon=\frac12(1-p)>0[/math]. Тогда в силу предела

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^qx}{x^{\varepsilon}}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math]

существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\ln^qx<x^{\varepsilon}[/math]. При этом

[math]\frac1{x^p\ln^q x}>\frac1{x^{p+\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math]

а поскольку [math]\frac12(p+1)<1[/math], то интеграл расходится по признаку сравнения.

В итоге весь интеграл сходится при одновременном выполнении неравенств [math]p>1,\ q<1[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/