Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Pepel |
|
|
|
Будьте добры, объясните способ решения данного задания. |
||
| Вернуться к началу | ||
| grigoriew-grisha |
|
|
|
Во втором логарифм синуса в нуле эквивалентен логарифму икса, а логарифм икса "убивается" в нуле любой положительной степенью этого самого икса, поэтому интеграл сходится.
В первом - аналогичные идеи, но долго писАть... |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
В окрестности единицы
[math]\frac1{x^p\ln^q x}\sim\frac1{(x-1)^q}[/math] Отсюда по признаку сравнения интеграл в окрестности единицы сходится при [math]q<1[/math] и расходится при [math]q\geqslant1[/math]. Теперь рассмотрим окрестность бесконечности. Пусть [math]p>1,\ \varepsilon=\frac12(p-1)>0[/math]. Тогда в силу предела [math]\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^{\varepsilon}\ln^qx}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math] существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\frac1{\ln^qx}<x^{\varepsilon}[/math]. При этом [math]\frac1{x^p\ln^q x}<\frac1{x^{p-\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math] а поскольку [math]\frac12(p+1)>1[/math], то интеграл сходится по признаку сравнения. Пусть [math]p=1[/math]. Тогда [math]\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^qx}=\int\limits_{\ln2}^{+\infty}\frac{dt}{t^q}[/math] откуда интеграл сходится при [math]q>1[/math] и расходится при [math]q\leqslant1[/math]. Пусть, наконец, [math]p<1,\ \varepsilon=\frac12(1-p)>0[/math]. Тогда в силу предела [math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^qx}{x^{\varepsilon}}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math] существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\ln^qx<x^{\varepsilon}[/math]. При этом [math]\frac1{x^p\ln^q x}>\frac1{x^{p+\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math] а поскольку [math]\frac12(p+1)<1[/math], то интеграл расходится по признаку сравнения. В итоге весь интеграл сходится при одновременном выполнении неравенств [math]p>1,\ q<1[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: delmel, Pepel |
||
|
[ Сообщений: 3 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Исследовать сходимость интегралов:
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
175 |
28 фев 2021, 18:52 |
|
|
Исследовать сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
14 |
366 |
03 май 2024, 10:44 |
|
|
Сходимость интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
196 |
14 май 2017, 13:31 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
302 |
25 июн 2016, 18:21 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
289 |
04 июн 2022, 02:25 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
348 |
10 май 2022, 00:48 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
238 |
24 дек 2017, 11:54 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
321 |
17 май 2019, 17:40 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
314 |
22 дек 2017, 11:34 |
|
|
Сходимость несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
332 |
01 апр 2015, 18:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |