Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать сходимость интегралов
СообщениеДобавлено: 09 дек 2013, 18:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2013, 17:34
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\int\limits_1^{ + \infty } {\tfrac{{dx}}{{{x^p}{{\ln }^q}x}}} ;\int\limits_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\tfrac{{\ln (\sin x)}}{{\sqrt x }}dx} .\][/math]
Будьте добры, объясните способ решения данного задания.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать сходимость интегралов
СообщениеДобавлено: 09 дек 2013, 21:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором логарифм синуса в нуле эквивалентен логарифму икса, а логарифм икса "убивается" в нуле любой положительной степенью этого самого икса, поэтому интеграл сходится.
В первом - аналогичные идеи, но долго писАть...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать сходимость интегралов
СообщениеДобавлено: 10 дек 2013, 15:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В окрестности единицы

[math]\frac1{x^p\ln^q x}\sim\frac1{(x-1)^q}[/math]

Отсюда по признаку сравнения интеграл в окрестности единицы сходится при [math]q<1[/math] и расходится при [math]q\geqslant1[/math].

Теперь рассмотрим окрестность бесконечности. Пусть [math]p>1,\ \varepsilon=\frac12(p-1)>0[/math]. Тогда в силу предела

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^{\varepsilon}\ln^qx}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math]

существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\frac1{\ln^qx}<x^{\varepsilon}[/math]. При этом

[math]\frac1{x^p\ln^q x}<\frac1{x^{p-\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math]

а поскольку [math]\frac12(p+1)>1[/math], то интеграл сходится по признаку сравнения.

Пусть [math]p=1[/math]. Тогда

[math]\int\limits_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^qx}=\int\limits_{\ln2}^{+\infty}\frac{dt}{t^q}[/math]

откуда интеграл сходится при [math]q>1[/math] и расходится при [math]q\leqslant1[/math].

Пусть, наконец, [math]p<1,\ \varepsilon=\frac12(1-p)>0[/math]. Тогда в силу предела

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^qx}{x^{\varepsilon}}=0[/math] при [math]\varepsilon>0[/math]

существует такая окрестность бесконечности, в которой [math]\ln^qx<x^{\varepsilon}[/math]. При этом

[math]\frac1{x^p\ln^q x}>\frac1{x^{p+\varepsilon}}=\frac1{x^{\frac12(p+1)}}[/math]

а поскольку [math]\frac12(p+1)<1[/math], то интеграл расходится по признаку сравнения.

В итоге весь интеграл сходится при одновременном выполнении неравенств [math]p>1,\ q<1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel, Pepel
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать сходимость интегралов:

в форуме Интегральное исчисление

CAHR_babanbiba

2

175

28 фев 2021, 18:52

Исследовать сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

zvezdochka

14

366

03 май 2024, 10:44

Сходимость интегралов

в форуме Интегральное исчисление

Vitani

1

196

14 май 2017, 13:31

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

dmitriy271

1

302

25 июн 2016, 18:21

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

6

289

04 июн 2022, 02:25

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

5

348

10 май 2022, 00:48

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

DorianT

2

238

24 дек 2017, 11:54

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

351w

7

321

17 май 2019, 17:40

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

DorianT

5

314

22 дек 2017, 11:34

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

0

332

01 апр 2015, 18:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved