Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать равномерную сходимость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28701
Страница 1 из 1

Автор:  Jhon [ 08 дек 2013, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать равномерную сходимость интеграла

Будет ли он сходится при [math]\alpha \geqslant 0[/math](у меня получилось абсолютно сходится при [math]\alpha<-1[/math]расходиться при [math]\alpha \geqslant -1[/math]Также сходится при [math]\alpha[/math]от -1 до 0

[math]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x) - \ln x )^{\alpha}}[/math]

Автор:  grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Jhon писал(а):
...расходиться при [math]\alpha \geqslant -1[/math]Также сходится при [math]\alpha[/math]от -1 до 0
Не нахОдите, что это странно звучит? :lol:

Автор:  Jhon [ 09 дек 2013, 07:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Что же странного, абсолютно расходится , и при этом сходится

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 дек 2013, 15:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

При неотрицательных значениях параметра интеграл расходится по критерию Коши.

Автор:  Jhon [ 09 дек 2013, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Вот я как раз делал выводы про абсолютную расходимость по критерию Коши, в нем же модуль?

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 дек 2013, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Молодец! А в критерии Коши просто сходимости модуля нет? :oops:

Автор:  Human [ 10 дек 2013, 16:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Функция [math]\left(\ln(1+x)-\ln x\right)^{\alpha}=\ln^{\alpha}\left(1+\frac1x\right)[/math] монотонно убывает (не возрастает) при [math]\alpha\geqslant0[/math], поэтому [math]\left(\ln(1+x)-\ln x\right)^{\alpha}\leqslant\ln^{\alpha}2[/math] при [math]x\geqslant1[/math].

Для каждого [math]\delta>0[/math] рассмотрим точки [math]x'=-\frac{\pi}2+2\pi n,\ x''=\frac{\pi}2+2\pi n[/math] такие, что [math]x'>\delta,\ n\in\mathbb{N}[/math]. Тогда

[math]\left|\int\limits_{x'}^{x''}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x)-\ln x)^{\alpha}}\right|=\int\limits_{x'}^{x''}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x)-\ln x)^{\alpha}}\geqslant\frac1{\ln^{\alpha}2}\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\cos x\,dx=\frac2{\ln^{\alpha}2}[/math]

Таким образом при [math]\varepsilon=\frac2{\ln^{\alpha}2}[/math] мы получаем отрицание критерия Коши.

Автор:  Jhon [ 10 дек 2013, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Вот я про абсолютную также доказывал, а тут про оценку логарифма что-то не догадался,
а вот еще вопрос, у нас же оценка логарифма снизу,а мы оцениваем сверху, это из-за дроби?

Автор:  Human [ 10 дек 2013, 18:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать равномерную сходимость интеграла

Jhon писал(а):
а вот еще вопрос, у нас же оценка логарифма снизу,а мы оцениваем сверху, это из-за дроби?


Конечно. Только наоборот: сам логарифм оценён сверху, а его обратная величина - снизу.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/