Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Jhon |
|
|
|
[math]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x) - \ln x )^{\alpha}}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| grigoriew-grisha |
|
|
|
Jhon писал(а): ...расходиться при [math]\alpha \geqslant -1[/math]Также сходится при [math]\alpha[/math]от -1 до 0 Не нахОдите, что это странно звучит? ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Jhon |
|
|
|
Что же странного, абсолютно расходится , и при этом сходится
|
||
| Вернуться к началу | ||
| grigoriew-grisha |
|
|
|
При неотрицательных значениях параметра интеграл расходится по критерию Коши.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Jhon |
|
|
|
Вот я как раз делал выводы про абсолютную расходимость по критерию Коши, в нем же модуль?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| grigoriew-grisha |
|
|
|
Молодец! А в критерии Коши просто сходимости модуля нет?
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Функция [math]\left(\ln(1+x)-\ln x\right)^{\alpha}=\ln^{\alpha}\left(1+\frac1x\right)[/math] монотонно убывает (не возрастает) при [math]\alpha\geqslant0[/math], поэтому [math]\left(\ln(1+x)-\ln x\right)^{\alpha}\leqslant\ln^{\alpha}2[/math] при [math]x\geqslant1[/math].
Для каждого [math]\delta>0[/math] рассмотрим точки [math]x'=-\frac{\pi}2+2\pi n,\ x''=\frac{\pi}2+2\pi n[/math] такие, что [math]x'>\delta,\ n\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\left|\int\limits_{x'}^{x''}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x)-\ln x)^{\alpha}}\right|=\int\limits_{x'}^{x''}\frac{\cos x\,dx}{(\ln(1+x)-\ln x)^{\alpha}}\geqslant\frac1{\ln^{\alpha}2}\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\cos x\,dx=\frac2{\ln^{\alpha}2}[/math] Таким образом при [math]\varepsilon=\frac2{\ln^{\alpha}2}[/math] мы получаем отрицание критерия Коши. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Jhon |
||
| Jhon |
|
|
|
Вот я про абсолютную также доказывал, а тут про оценку логарифма что-то не догадался,
а вот еще вопрос, у нас же оценка логарифма снизу,а мы оцениваем сверху, это из-за дроби? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Jhon писал(а): а вот еще вопрос, у нас же оценка логарифма снизу,а мы оцениваем сверху, это из-за дроби? Конечно. Только наоборот: сам логарифм оценён сверху, а его обратная величина - снизу. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |