| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать равномерную сходимость интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28662 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Shouty [ 08 дек 2013, 00:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать равномерную сходимость интеграла |
Помогите, пожалуйста, доказать равномерную сходимость интеграла по [math]\alpha \in \left( - \infty , + \infty \right)[/math] . [math]\int\limits_{0}^{ + \infty }\cos{x^{2} }\operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)} dx[/math] Пробовал по признаку Дирихле, представляя функцию , как произведение [math]x\cos{x^{2} }[/math] и [math]\frac{ \operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)}{ x }[/math]. Но там требуется непрерывность функций, а вторая неопределена в нуле
|
|
| Автор: | Avgust [ 08 дек 2013, 03:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует. http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29 Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29 |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 10:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Avgust писал(а): Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует. А при чем здесь "предел интеграла существует"? http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29 Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29 Иди-ка лучше, Выучи для начала определение РАВНОМЕРНОЙ сходимости, а уж потом вольфрамом размахивай.
|
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 10:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
А в интеграле нужно сделать очевидную замену [math]t=x^2[/math] , вот тогда и Абель-Дирихле сгодится. |
|
| Автор: | Shouty [ 08 дек 2013, 10:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Мы получим интеграл [math]\int\limits_{0}^{ + \infty } \frac{ \cos{u} \operatorname{arctg}( \alpha \sqrt{u} ) }{ 2\sqrt{u} } du[/math] И проблемы в нуле не пропадут
|
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 14:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Что вы городите? Какие "проблемы в нуле"? В нуле подынтегральная функция имеет конечный предел, там нет особенности. |
|
| Автор: | Shouty [ 08 дек 2013, 15:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Может быть так попробовать? [math]\cos{x^{2} }[/math] и [math]\operatorname{arctg}( \alpha x)[/math] непрерывны по x [math]\in \left( - \infty , + \infty \right)[/math] [math]\int\limits_{0}^{ + \infty}cos{x^{2} }dx = \int\limits_{0}^{ + \infty}\frac{ 2xcos{x^{2} }}{2x }dx[/math] - сходится. Т.к. первообразная числителя ограничена, а все остальное монотонно стремится к нулю.И интеграл не зависит от [math]\alpha[/math] , а значит сходится равномерно. [math]\left| \operatorname{arctg}( \alpha x) \right|[/math] [math]\leqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math] , для [math]\forall \alpha[/math] [math]\left( \operatorname{arctg}( \alpha x) \right)_{x}^{'} = \frac{ \alpha }{ 1+\left( \alpha x \right) ^{2} }[/math] - знакопостоянная при фиксированом [math]\alpha[/math]. И по признаку Абеля все сойдется равномерно. |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 15:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Идея - неплохая, вот только в первом интеграле те самые "проблемы в 0" вы сами создали и стыдливо обошли стороной. Но это легко решается, и у вас все станет правильно!
|
|
| Автор: | Shouty [ 08 дек 2013, 16:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость интеграла |
Спасибо! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|