Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать равномерную сходимость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28662
Страница 1 из 1

Автор:  Shouty [ 08 дек 2013, 00:21 ]
Заголовок сообщения:  Доказать равномерную сходимость интеграла

Помогите, пожалуйста, доказать равномерную сходимость интеграла по [math]\alpha \in \left( - \infty , + \infty \right)[/math] .
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty }\cos{x^{2} }\operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)} dx[/math]
Пробовал по признаку Дирихле, представляя функцию , как произведение [math]x\cos{x^{2} }[/math] и [math]\frac{ \operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)}{ x }[/math].
Но там требуется непрерывность функций, а вторая неопределена в нуле :(

Автор:  Avgust [ 08 дек 2013, 03:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29

Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29

Автор:  grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 10:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Avgust писал(а):
Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29

Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29
А при чем здесь "предел интеграла существует"? :ROFL:
Иди-ка лучше, июль август, восхищаться идиотами типа индивида, там самое твое место! А здесь говорят о математике, твоему куцему уму, даже усиленному вальфрамом, недоступной. :Yahoo!:
Выучи для начала определение РАВНОМЕРНОЙ сходимости, а уж потом вольфрамом размахивай. :hh:)

Автор:  grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 10:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

А в интеграле нужно сделать очевидную замену [math]t=x^2[/math] , вот тогда и Абель-Дирихле сгодится.

Автор:  Shouty [ 08 дек 2013, 10:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Мы получим интеграл
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty } \frac{ \cos{u} \operatorname{arctg}( \alpha \sqrt{u} ) }{ 2\sqrt{u} } du[/math]
И проблемы в нуле не пропадут :(

Автор:  grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Что вы городите? Какие "проблемы в нуле"? В нуле подынтегральная функция имеет конечный предел, там нет особенности.

Автор:  Shouty [ 08 дек 2013, 15:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Может быть так попробовать?
[math]\cos{x^{2} }[/math] и [math]\operatorname{arctg}( \alpha x)[/math] непрерывны по x [math]\in \left( - \infty , + \infty \right)[/math]
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty}cos{x^{2} }dx = \int\limits_{0}^{ + \infty}\frac{ 2xcos{x^{2} }}{2x }dx[/math] - сходится. Т.к. первообразная числителя ограничена, а все остальное монотонно стремится к нулю.И интеграл не зависит от [math]\alpha[/math] , а значит сходится равномерно.
[math]\left| \operatorname{arctg}( \alpha x) \right|[/math] [math]\leqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math] , для [math]\forall \alpha[/math]
[math]\left( \operatorname{arctg}( \alpha x) \right)_{x}^{'} = \frac{ \alpha }{ 1+\left( \alpha x \right) ^{2} }[/math] - знакопостоянная при фиксированом [math]\alpha[/math].
И по признаку Абеля все сойдется равномерно.

Автор:  grigoriew-grisha [ 08 дек 2013, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Идея - неплохая, вот только в первом интеграле те самые "проблемы в 0" вы сами создали и стыдливо обошли стороной.
Но это легко решается, и у вас все станет правильно! :Bravo:

Автор:  Shouty [ 08 дек 2013, 16:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость интеграла

Спасибо!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/