Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 00:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2013, 23:41
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, доказать равномерную сходимость интеграла по [math]\alpha \in \left( - \infty , + \infty \right)[/math] .
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty }\cos{x^{2} }\operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)} dx[/math]
Пробовал по признаку Дирихле, представляя функцию , как произведение [math]x\cos{x^{2} }[/math] и [math]\frac{ \operatorname{arctg} \left( \alpha x\right)}{ x }[/math].
Но там требуется непрерывность функций, а вторая неопределена в нуле :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 03:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29

Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Shouty
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 10:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Графически все ясно. Подынтегральная функция только вначале развивается и затем стремится к правильной периодической функции. То есть, предел интеграла существует.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... ..10%29%29

Например, в нашем частном случае http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... y%29%29%29
А при чем здесь "предел интеграла существует"? :ROFL:
Иди-ка лучше, июль август, восхищаться идиотами типа индивида, там самое твое место! А здесь говорят о математике, твоему куцему уму, даже усиленному вальфрамом, недоступной. :Yahoo!:
Выучи для начала определение РАВНОМЕРНОЙ сходимости, а уж потом вольфрамом размахивай. :hh:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 10:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А в интеграле нужно сделать очевидную замену [math]t=x^2[/math] , вот тогда и Абель-Дирихле сгодится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 10:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2013, 23:41
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мы получим интеграл
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty } \frac{ \cos{u} \operatorname{arctg}( \alpha \sqrt{u} ) }{ 2\sqrt{u} } du[/math]
И проблемы в нуле не пропадут :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 14:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что вы городите? Какие "проблемы в нуле"? В нуле подынтегральная функция имеет конечный предел, там нет особенности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
Shouty
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 15:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2013, 23:41
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть так попробовать?
[math]\cos{x^{2} }[/math] и [math]\operatorname{arctg}( \alpha x)[/math] непрерывны по x [math]\in \left( - \infty , + \infty \right)[/math]
[math]\int\limits_{0}^{ + \infty}cos{x^{2} }dx = \int\limits_{0}^{ + \infty}\frac{ 2xcos{x^{2} }}{2x }dx[/math] - сходится. Т.к. первообразная числителя ограничена, а все остальное монотонно стремится к нулю.И интеграл не зависит от [math]\alpha[/math] , а значит сходится равномерно.
[math]\left| \operatorname{arctg}( \alpha x) \right|[/math] [math]\leqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math] , для [math]\forall \alpha[/math]
[math]\left( \operatorname{arctg}( \alpha x) \right)_{x}^{'} = \frac{ \alpha }{ 1+\left( \alpha x \right) ^{2} }[/math] - знакопостоянная при фиксированом [math]\alpha[/math].
И по признаку Абеля все сойдется равномерно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 15:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Идея - неплохая, вот только в первом интеграле те самые "проблемы в 0" вы сами создали и стыдливо обошли стороной.
Но это легко решается, и у вас все станет правильно! :Bravo:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
Shouty
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 08 дек 2013, 16:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2013, 23:41
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равномерную сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

oneinchman

7

965

16 фев 2015, 14:04

Доказать равномерную сходимость несобственного интеграла, за

в форуме Интегральное исчисление

y2kisback

2

278

14 май 2017, 08:56

Исследование интеграла на равномерную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Polina1254

3

446

22 ноя 2017, 22:54

Доказать равномерную сходимость

в форуме Ряды

351w

1

445

09 дек 2018, 12:43

Доказать равномерную сходимость функциональных рядов

в форуме Ряды

Xterylis

3

408

21 апр 2021, 21:24

Доказать равномерную сходимость признаком Вейерштрасса

в форуме Ряды

LevMarc

4

742

20 дек 2021, 14:34

Доказать сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Vantovymost

3

304

03 июн 2015, 18:49

Доказать сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

math1love

0

526

07 фев 2020, 15:36

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

750

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved