Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28632
Страница 1 из 1

Автор:  Pepel [ 07 дек 2013, 00:55 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

[math]\[F(\alpha ) = \int\limits_0^{ + \infty } {\tfrac{{{e^{ - \alpha {x^2}}} - {e^{ - \beta {x^2}}}}}{x}} dx,\][/math]
[math]\[\alpha > 0,\beta > 0,\][/math]
[math]\[\left\{ \begin{gathered}\tfrac{{{e^{ - \alpha {x^2}}} - {e^{ - \beta {x^2}}}}}{x},x \ne 0 \hfill \\ 0,x = 0 \hfill \\ \end{gathered}\right.\][/math]
[math]\[f(x,\alpha )\][/math] - непрерывна.
[math]\[f_\alpha ^'(x,\alpha ) = - x{e^{ - \alpha {x^2}}}\][/math] - непрерывна.
[math]\[\begin{gathered} {F^'}(\alpha ) = \int\limits_0^{ + \infty } { - x{e^{ - \alpha {x^2}}}dx = - \tfrac{1}{{2\alpha }}} \hfill \\ - \int\limits_0^{ + \infty } {\tfrac{{d\alpha }}{{2\alpha }}} = - \tfrac{1}{2}\ln \alpha + C(\beta ) \hfill \\ C(\beta ) = \tfrac{1}{2}\ln \beta \Rightarrow F(\alpha ) = \tfrac{1}{2}\ln \tfrac{\beta }{\alpha }. \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
Осталось только показать,что интеграл [math]\[F(\alpha )\][/math] сходится, а интеграл [math]\[{F^'}(\alpha )\][/math] сходится равномерно.

Автор:  grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 06:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

На каком множестве параметров интеграл от производной сходится равномерно?

Автор:  venjar [ 07 дек 2013, 08:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

А проверить полученный ответ можно с помощью формулы Фруллани

Автор:  Pepel [ 07 дек 2013, 15:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

В правильности ответа сомнений нет.
Я же указал интервалы для параметров, на них, видимо, и должна быть равномерная сходимость интеграла производной.

Автор:  grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 19:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

"И Сталин Великий нам путь озарил!" :ROFL:
Мало ли кто чего указал. На этом множестве параметров равномерной сходимости интеграла от производной нет. зато есть специальный прием, позволяющий эту трудность обойти.

Автор:  Pepel [ 07 дек 2013, 22:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

Так Вы не подскажете как решить проблему?

Автор:  grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

Дифференцируемость - локальное свойство. Поэтому можно доказывать дифференцируемость для каждого луча [math]\alpha>a>0[/math]

Автор:  Pepel [ 09 дек 2013, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

Кто-нибудь может показать что данные интегралы сходятся???

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 дек 2013, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру

Я могу. Но зачем?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/