| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28632 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Pepel [ 07 дек 2013, 00:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
[math]\[F(\alpha ) = \int\limits_0^{ + \infty } {\tfrac{{{e^{ - \alpha {x^2}}} - {e^{ - \beta {x^2}}}}}{x}} dx,\][/math] [math]\[\alpha > 0,\beta > 0,\][/math] [math]\[\left\{ \begin{gathered}\tfrac{{{e^{ - \alpha {x^2}}} - {e^{ - \beta {x^2}}}}}{x},x \ne 0 \hfill \\ 0,x = 0 \hfill \\ \end{gathered}\right.\][/math] [math]\[f(x,\alpha )\][/math] - непрерывна. [math]\[f_\alpha ^'(x,\alpha ) = - x{e^{ - \alpha {x^2}}}\][/math] - непрерывна. [math]\[\begin{gathered} {F^'}(\alpha ) = \int\limits_0^{ + \infty } { - x{e^{ - \alpha {x^2}}}dx = - \tfrac{1}{{2\alpha }}} \hfill \\ - \int\limits_0^{ + \infty } {\tfrac{{d\alpha }}{{2\alpha }}} = - \tfrac{1}{2}\ln \alpha + C(\beta ) \hfill \\ C(\beta ) = \tfrac{1}{2}\ln \beta \Rightarrow F(\alpha ) = \tfrac{1}{2}\ln \tfrac{\beta }{\alpha }. \hfill \\ \end{gathered} \][/math] Осталось только показать,что интеграл [math]\[F(\alpha )\][/math] сходится, а интеграл [math]\[{F^'}(\alpha )\][/math] сходится равномерно. |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 06:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
На каком множестве параметров интеграл от производной сходится равномерно? |
|
| Автор: | venjar [ 07 дек 2013, 08:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
А проверить полученный ответ можно с помощью формулы Фруллани |
|
| Автор: | Pepel [ 07 дек 2013, 15:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
В правильности ответа сомнений нет. Я же указал интервалы для параметров, на них, видимо, и должна быть равномерная сходимость интеграла производной. |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 19:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
"И Сталин Великий нам путь озарил!" Мало ли кто чего указал. На этом множестве параметров равномерной сходимости интеграла от производной нет. зато есть специальный прием, позволяющий эту трудность обойти. |
|
| Автор: | Pepel [ 07 дек 2013, 22:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
Так Вы не подскажете как решить проблему? |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 07 дек 2013, 22:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
Дифференцируемость - локальное свойство. Поэтому можно доказывать дифференцируемость для каждого луча [math]\alpha>a>0[/math] |
|
| Автор: | Pepel [ 09 дек 2013, 18:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
Кто-нибудь может показать что данные интегралы сходятся??? |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 09 дек 2013, 19:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с помощью дифференцирования по параметру |
Я могу. Но зачем? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|